Resolva os problemas de valor iniciais propostos.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
O problema é
Para isso, vamos usar o método da equação característica, que transforma a EDO numa equação algébrica em
.
Passo 2
Montamos a equação característica associada a
substituindo
e suas derivadas, o que dá:
Passo 3
Resolvemos
usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
, ou seja, raízes complexas:
Logo, a solução geral da EDO é
Passo 4
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
em
Portanto
.
Passo 5
Precisamos de
. Derivando
usamos produto e cadeia e obtemos
Agora impondo
:
Passo 6
Com
e
a solução final fica