Resolva os problemas de valor iniciais propostos.
y^prime prime+4 y^prime+5 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=-5

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
O problema é
y'' + 4y' + 5y = 0, y(0) = 2, y'(0) = -5
Para isso, vamos usar o método da equação característica, que transforma a EDO numa equação algébrica em r.

Passo 2

Montamos a equação característica associada a
y'' + 4y' + 5y = 0
substituindo y = e^rx e suas derivadas, o que dá:
r^2 + 4r + 5 = 0

Passo 3

Resolvemos
r^2 + 4r + 5 = 0
usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é De, ou seja, raízes complexas:
r = -4 pm raiz-42 = -2 pm i
Logo, a solução geral da EDO é
y(x) = e^-2xl(C1cos x + C2sin xr)

Passo 4

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=2. Substituindo x=0 em
y(0) = e^0l(C1cos0 + C2sin0r) = C1 = 2
Portanto C1 = 2.

Passo 5

Precisamos de y'(x). Derivando
y'(x) = ddxl[e^-2xl(C1cos x + C2sin xr)r]
usamos produto e cadeia e obtemos
y'(x) = e^-2xl[(C2 - 2C1)cos x + (-C1 - 2C2)sin xr]
Agora impondo y'(0) = -5:
y'(0) = (C2 - 2C1) = -5 implies C2 - 2cdot2 = -5 implies C2 = -1

Passo 6

Com C1=2 e C2=-1 a solução final fica
y(x) = e^-2xl(2cos x - sin xr)

Resposta

y(x) = e^-2xl(2cos x - sin xr)

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