Calcule a integral integral duplaS F cdot n d S.
F(x, y, z)=x imath-x y jmath+z k, S : superfície cilíndrica x^2+z^2=R^2, limitada pelos planos y=1 e x+y=4, vetor normal n apontando para fora de S.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F(x,y,z)=x,vecimath -xy,vecjmath + z,vec k através da superfície cilíndrica S:;x^2+z^2=R^2, limitada pelos planos y=1 e x+y=4, com o normal apontando para fora. O conteúdo é integral de superfície (fluxo) e vamos precisar parametrizar o cilindro, achar o vetor normal unitário e calcular integral duplaS vec Fcdotvec n,dS.

Passo 2

Vamos parametrizar S por theta e y:
vec r(theta,y)=l(Rcostheta,,y,,Rsinthetar),
onde thetain[0,2pi] e y varia de 1 até 4-x=4-Rcostheta. O vetor normal unitário para fora do cilindro é
vec n=1Rlang<= x,0,zrang<==lang<=costheta,0,sinthetarang<=,
e o elemento de área é dS=R,dtheta,dy.

Passo 3

No integrando temos
vec Fl(Rcostheta,y,Rsinthetar)=l(Rcostheta,,-yRcostheta,,Rsinthetar)
Então
vec Fcdotvec n=Rcosthetacdotcostheta+Rsinthetacdotsintheta=R(cos^2theta+sin^2theta)=R
Logo o fluxo é
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS=integral0^2piintegraly=1^4-RcosthetaRcdot R,dy,dtheta =R^2integral0^2pil[(4-Rcostheta)-1r]dtheta

Passo 4

Fazendo a integral em y e depois em theta:
R^2integral0^2pi(3-Rcostheta),dtheta =R^2l[3cdot2pi -Rcdot0r] =6pi R^2

Resposta

6pi R^2

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