Resolva as seguintes equações diferenciais por algum método estudado.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão nos pede. Precisamos resolver a seguinte equação diferencial:
Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica útil para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
Comparando com a nossa equação:
Vemos que $ P(t) = -1 $ e $ Q(t) = \operatorname{sen}, 2 t $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
Substituindo $ P(t) = -1 $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(t) $:
Isso nos permite reescrever o lado esquerdo da equação como a derivada do produto $ x \cdot e^{-t} $:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral no lado direito. Usamos a fórmula para integrar $ e^{at} \cdot \operatorname{sen}(bt) $:
No nosso caso, $ a = -1 $ e $ b = 2 $. Substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à equação onde integrámos:
Para isolar $ x $, multiplicamos ambos os lados por $ e^{t} $:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial $ x(0) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $:
Substituindo $ t = 0 $:
Sabendo que $ \operatorname{sen}, 0 = 0 $ e $ \operatorname{cos}, 0 = 1 $:
Simplificando:
Portanto:
Passo 9
Finalmente, substituímos o valor de $ C $ na expressão de $ x $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: