Resolva as seguintes equações diferenciais por algum método estudado.
l d xd t-x=sen 2 t x(0)=0

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão nos pede. Precisamos resolver a seguinte equação diferencial:
l d xd t - x = sen, 2 t x(0) = 0
Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica útil para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
d xdt + P(t) x = Q(t)
Comparando com a nossa equação:
d xdt - x = sen, 2 t
Vemos que $ P(t) = -1 $ e $ Q(t) = \operatorname{sen}, 2 t $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
mu(t)
Substituindo $ P(t) = -1 $:
mu(t) = e^integral P(t) , dt

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(t) $:
mu(t)
Isso nos permite reescrever o lado esquerdo da equação como a derivada do produto $ x \cdot e^{-t} $:
e^-t cdot d xdt - e^-t cdot x = e^-t cdot sen, 2 t

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a $ t $:
t
A integral do lado esquerdo simplifica para:
integral ddt (x cdot e^-t) , dt = integral e^-t cdot sen, 2 t , dt
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver a integral no lado direito. Usamos a fórmula para integrar $ e^{at} \cdot \operatorname{sen}(bt) $:
e^at cdot sen(bt)
No nosso caso, $ a = -1 $ e $ b = 2 $. Substituindo:
integral e^a t cdot sen(b t) , dt = e^a t (a cdot sen(b t) - b cdot cos(b t))a^2 + b^2 + C
Simplificando:
a = -1

Passo 7

Voltando à equação onde integrámos:
x cdot e^-t = - sen, 2 t - 2 cos, 2 t5 cdot e^-t + C
Para isolar $ x $, multiplicamos ambos os lados por $ e^{t} $:
x

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial $ x(0) = 0 $ para encontrar o valor de $ C $:
Substituindo $ t = 0 $:
x(0) = 0
Sabendo que $ \operatorname{sen}, 0 = 0 $ e $ \operatorname{cos}, 0 = 1 $:
C
Simplificando:
t = 0
Portanto:
0 = - sen, 0 - 2 cos, 05 + C cdot e^0

Passo 9

Finalmente, substituímos o valor de $ C $ na expressão de $ x $:
C

Resposta

A solução da equação diferencial é:
x(t) = - sen, 2 t - 2 cos, 2 t5 + 25 e^t

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