Calcule a integral integral duplaS F cdot n d S.
F(x, y, z)=lang<= z e^x y,-3 z e^x y, x yrang<= e S é o paralelogramo com equações paramétricas x= u+v, y=u-v, z=1+2 u+v, o <= u <= 2,0 <= v <= 1, com n apontando para cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot n , dS, onde F(x, y, z) = lang<= z e^x y, -3 z e^x y, x y rang<= e S é um paralelogramo definido pelas equações paramétricas x = u + v, y = u - v, z = 1 + 2u + v, com 0 <= u <= 2 e 0 <= v <= 1. Além disso, o vetor normal n está apontando para cima. Para resolver isso, vamos precisar entender integrais de superfície, parametrizações e produto vetorial. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a superfície S usando as equações paramétricas dadas:
r(u, v) = lang<= u + v, , u - v, , 1 + 2u + v rang<=
Aqui, u varia de 0 a 2 e v de 0 a 1. Essa parametrização nos permite representar cada ponto do paralelogramo em termos de u e v.

Passo 3

Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o vetor normal n multiplicado pelo diferencial de área dS. Isso é feito calculando o produto vetorial das derivadas parciais da parametrização em relação a u e v:
ru = partial rpartial u = lang<= 1, , 1, , 2 rang<=
rv = partial rpartial v = lang<= 1, , -1, , 1 rang<=
Então, o produto vetorial ru times rv nos dá um vetor normal à superfície.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial ru times rv:
ru times rv = i & j & k 1 & 1 & 2 1 & -1 & 1 = i(1 cdot 1 - 2 cdot (-1)) - j(1 cdot 1 - 2 cdot 1) + k(1 cdot (-1) - 1 cdot 1)
= i(1 + 2) - j(1 - 2) + k(-1 - 1)
= 3i + j - 2k
Então, ru times rv = lang<= 3, 1, -2 rang<=.

Passo 5

Agora, precisamos garantir que o vetor normal n esteja apontando para cima. Observando a componente z do vetor normal lang<= 3, 1, -2 rang<=, que é -2, percebemos que ele aponta para baixo. Para corrigir isso, multiplicamos o vetor por -1:
n = -lang<= 3, 1, -2 rang<= = lang<= -3, -1, 2 rang<=
Agora, a componente z é positiva, indicando que o vetor está apontando para cima.

Passo 6

O próximo passo é calcular F cdot n. Primeiro, vamos substituir os valores de x, y e z da parametrização na função F:
x = u + v, y = u - v, z = 1 + 2u + v
Então,
F(u, v) = lang<= (1 + 2u + v) e^(u + v)(u - v), , -3(1 + 2u + v) e^(u + v)(u - v), , (u + v)(u - v) rang<=
Agora, calculamos o produto escalar com n:
F cdot n = [ (1 + 2u + v) e^u^2 - v^2 ](-3) + [ -3(1 + 2u + v) e^u^2 - v^2 ](-1) + [ (u + v)(u - v) ](2)
= -3(1 + 2u + v) e^u^2 - v^2 + 3(1 + 2u + v) e^u^2 - v^2 + 2(u^2 - v^2)
= 0 + 2(u^2 - v^2)
= 2u^2 - 2v^2

Passo 7

Agora, a integral de superfície se reduz a uma integral dupla sobre os limites de u e v:
integral duplaS F cdot n , dS = integral duplaD (2u^2 - 2v^2) , | ru times rv | , du , dv
Primeiro, calculamos o módulo de ru times rv:
| ru times rv | = raiz(-3)^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz9 + 1 + 4 = raiz14
Então, a integral fica:
raiz14 integral duplaD (2u^2 - 2v^2) , du , dv

Passo 8

Vamos calcular a integral dupla:
integral duplaD (2u^2 - 2v^2) , du , dv = integral0^2 integral0^1 (2u^2 - 2v^2) , dv , du
Primeiro, integramos em relação a v:
integral0^1 (2u^2 - 2v^2) , dv = 2u^2 v - 23v^3 |0^1 = 2u^2(1) - 23(1)^3 - [0 - 0] = 2u^2 - 23
Então, a integral dupla se torna:
integral0^2 ( 2u^2 - 23 ) du

Passo 9

Agora, integramos em relação a u:
integral0^2 ( 2u^2 - 23 ) du = 23u^3 - 23u |0^2 = ( 23(8) - 23(2) ) - ( 0 - 0 ) = 163 - 43 = 123 = 4

Passo 10

Finalmente, multiplicamos o resultado pela constante raiz14:
integral duplaS F cdot n , dS = raiz14 times 4 = 4raiz14

Resposta

A integral de superfície vale 4raiz14.

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