Calcule a integral . e é o paralelogramo com equações paramétricas , com apontando para cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde e é um paralelogramo definido pelas equações paramétricas , , , com e . Além disso, o vetor normal está apontando para cima. Para resolver isso, vamos precisar entender integrais de superfície, parametrizações e produto vetorial. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a superfície usando as equações paramétricas dadas:
Aqui, varia de 0 a 2 e de 0 a 1. Essa parametrização nos permite representar cada ponto do paralelogramo em termos de e .
Passo 3
Para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o vetor normal multiplicado pelo diferencial de área . Isso é feito calculando o produto vetorial das derivadas parciais da parametrização em relação a e :
Então, o produto vetorial nos dá um vetor normal à superfície.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial :
= i(1 + 2) - j(1 - 2) + k(-1 - 1)
= 3i + j - 2k
Então, ru times rv = lang<= 3, 1, -2 rang<=.
Passo 5
Agora, precisamos garantir que o vetor normal n esteja apontando para cima. Observando a componente z do vetor normal lang<= 3, 1, -2 rang<=, que é -2, percebemos que ele aponta para baixo. Para corrigir isso, multiplicamos o vetor por -1: