Resolver as seguintes equações diferenciais ordinárias:
y^(I V)+2 y^prime prime+y=(t-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária de quarta ordem:
y^(IV) + 2 y'' + y = (t - 1)^2
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular para o lado direito da equação, que é (t - 1)^2. No final, juntamos tudo para encontrar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y^(IV) + 2 y'' + y = 0
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma y = e^rt, onde r é um número que vamos encontrar. Substituindo isso na equação, temos:
(r^4) e^rt + 2(r^2) e^rt + e^rt = 0
Como e^rt nunca é zero, podemos simplificar e obter a equação característica:
r^4 + 2 r^2 + 1 = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
r^4 + 2 r^2 + 1 = 0
Podemos fazer uma substituição para facilitar. Seja z = r^2, então a equação fica:
z^2 + 2 z + 1 = 0
Essa é uma equação quadrática simples. Resolvendo para z:
z = -2 pm raiz4 - 42 = -22 = -1
Então, z = -1, e lembrando que z = r^2, temos:
r^2 = -1 Rightarrow r = pm i

Passo 4

Agora que encontramos as raízes da equação característica, que são r = i e r = -i, cada uma com multiplicidade 2 (porque o fator (r^2 + 1)^2 aparece na equação característica), podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
yh(t) = (C1 + C2 t) cos(t) + (C3 + C4 t) sin(t)
Aqui, C1, C2, C3, C4 são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) para a equação não homogênea:
y^(IV) + 2 y'' + y = (t - 1)^2
O lado direito é um polinômio de segundo grau. Então, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
yp(t) = A t^2 + B t + C
Onde A, B, C são constantes que vamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas necessárias de yp(t):
yp' = 2A t + B yp'' = 2A yp''' = 0 yp^(IV) = 0
Substituindo essas na equação original:
0 + 2(2A) + (A t^2 + B t + C) = (t - 1)^2
Simplificando:
4A + A t^2 + B t + C = t^2 - 2t + 1

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Coeficiente de t^2: A = 1
  • Coeficiente de t: B = -2
  • Termo constante: 4A + C = 1
Substituindo A = 1 na última equação:
4(1) + C = 1 Rightarrow C = -3

Passo 8

Então, a solução particular é:
yp(t) = 1 cdot t^2 - 2 t - 3 = t^2 - 2 t - 3

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) y(t) = (C1 + C2 t) cos(t) + (C3 + C4 t) sin(t) + t^2 - 2 t - 3

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = (C1 + C2 t) cos(t) + (C3 + C4 t) sin(t) + t^2 - 2 t - 3
Onde C1, C2, C3, C4 são constantes arbitrárias.

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