Resolver as seguintes equações diferenciais ordinárias:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária de quarta ordem:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular para o lado direito da equação, que é
. No final, juntamos tudo para encontrar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é um número que vamos encontrar. Substituindo isso na equação, temos:
Como
nunca é zero, podemos simplificar e obter a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Podemos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então a equação fica:
Essa é uma equação quadrática simples. Resolvendo para
:
Então,
, e lembrando que
, temos:
Passo 4
Agora que encontramos as raízes da equação característica, que são
e
, cada uma com multiplicidade 2 (porque o fator
aparece na equação característica), podemos escrever a solução geral da equação homogênea:
Aqui,
são constantes que vão ser determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
O lado direito é um polinômio de segundo grau. Então, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
Onde
são constantes que vamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas necessárias de
:
Substituindo essas na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Substituindo
na última equação:
Passo 8
Então, a solução particular é:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
são constantes arbitrárias.