Use o teorema da divergência paa calcular integral duplaS F cdot d S, onde S é orientada com n apontando para fora.
F(x, y, z)=lang<= 3 x y^2, x e^z, z^3rang<= e S é a superfície do sólido limitado pelo clindro x^2+z^2=1 e os planos coordendados x=-1 e x=2.

Passo 1

Resumindo o enunciado: a tarefa é calcular integral duplaS Fcdot d S usando o teorema da divergência. Aqui F(x,y,z)=lang<=3xy^2,,x e^z,,z^3rang<= e S é a superfície que envolve o volume E limitado pelo cilindro de seção transversal y^2+z^2=1 e pelos planos x=-1 e x=2. Vamos precisar do teorema da divergência e de coordenadas cilíndricas (eixo em x).

Passo 2

Aplicando o teorema da divergência, lembramos que integral duplaS Fcdot d S=integral triplaE(nablacdot F),dV. Primeiro calculamos a divergência de F:
nablacdot F=partialpartial x(3xy^2)+partialpartial y(x e^z)+partialpartial z(z^3) =3y^2+0+3z^2=3l(y^2+z^2r)

Passo 3

Para integrar sobre E, usamos coordenadas cilíndricas em torno do eixo x: definimos r^2=y^2+z^2, y=rcostheta, z=rsintheta e dV=r,dr,dtheta,dx. Os limites são xin[-1,2], rin[0,1] e thetain[0,2pi]. Assim o integral fica
integral triplaE3(r^2),dV=3integralx=-1^2!integral0^2pi!integral0^1r^2,(r,dr,dtheta,dx)

Passo 4

Agora basta calcular passo a passo:
3integralx=-1^2dxcdotintegral0^2pidthetacdotintegral0^1r^3dr =3,(2-(-1)),(2pi),l[r^44r]0^1 =3cdot3cdot2picdot14 =18pi4 =9pi2

Resposta

9pi2

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