Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função
f(x, y)=x e^-2 x^2-2 y^2

Passo 1

O enunciado: a função é f(x,y)=x e{-2x2-2y^2}. Precisamos achar máximos, mínimos locais e pontos de sela usando derivadas parciais e teste da matriz Hessiana.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de primeiro ordem para encontrar os pontos críticos.
A derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x=e^-2x^2-2y^2(1-4x^2)
A derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y=-4xy,e^-2x^2-2y^2

Passo 3

Para achar os pontos críticos, imponho nabla f=0. Da segunda derivada vem -4xy e^-2x^2-2y^2=0, o que dá x=0 ou y=0. Da primeira vem 1-4x^2=0, i.e. x=pm1/2. O único casamento possível é y=0 com x=pm1/2. Assim os pontos críticos são (1/2,0) e (−1/2,0).

Passo 4

Agora o teste da Hessiana. As segundas derivadas são:
partial^2 fpartial x^2=(16x^3-12x)e^-2x^2-2y^2,
partial^2 fpartial y^2=4x(4y^2-1)e^-2x^2-2y^2,
partial^2 fpartial xpartial y=-4y(1-4x^2)e^-2x^2-2y^2

Passo 5

Avalio no ponto (1/2,0):
fxx=-4e^-1/2, fyy=-2e^-1/2, fxy=0
Como ambos f_{xx} e f_{yy} são negativos, (1/2,0) é máximo local.

Passo 6

No ponto (−1/2,0) temos
fxx=4e^-1/2, fyy=2e^-1/2, fxy=0
Ambos positivos, logo (−1/2,0) é mínimo local. Não surgem casos mistos, então não há pontos de sela.

Passo 7

Para visualizar, a superfície tem um saliência com um pico em (1/2,0,f)=((1/2,0,\tfrac12e^{-1/2})) e uma depressão em (−1/2,0,−\tfrac12e^{-1/2}).

Resposta

Máximo local em (1/2,0) com f=\tfrac12e^{-1/2}; mínimo local em (−1/2,0) com f=−\tfrac12e^{-1/2}; não há pontos de sela.

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