Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função
Passo 1
O enunciado: a função é f(x,y)=x e{-2x2-2y^2}. Precisamos achar máximos, mínimos locais e pontos de sela usando derivadas parciais e teste da matriz Hessiana.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas de primeiro ordem para encontrar os pontos críticos.
A derivada parcial em relação a x é
A derivada parcial em relação a x é
A derivada parcial em relação a y é
Passo 3
Para achar os pontos críticos, imponho
. Da segunda derivada vem
, o que dá
ou
. Da primeira vem
, i.e.
. O único casamento possível é
com
. Assim os pontos críticos são (1/2,0) e (−1/2,0).
Passo 4
Agora o teste da Hessiana. As segundas derivadas são:
Passo 5
Avalio no ponto (1/2,0):
Como ambos f_{xx} e f_{yy} são negativos, (1/2,0) é máximo local.
Passo 6
No ponto (−1/2,0) temos
Ambos positivos, logo (−1/2,0) é mínimo local. Não surgem casos mistos, então não há pontos de sela.
Passo 7
Para visualizar, a superfície tem um saliência com um pico em (1/2,0,f)=((1/2,0,\tfrac12e^{-1/2})) e uma depressão em (−1/2,0,−\tfrac12e^{-1/2}).
Resposta
Máximo local em (1/2,0) com f=\tfrac12e^{-1/2}; mínimo local em (−1/2,0) com f=−\tfrac12e^{-1/2}; não há pontos de sela.