Encontre uma função g tal que g^prime prime(x)=6 x+16 e^-4 x+4 sen 2 x+4 cos 2 x em que g(0)=-2 e g^prime(0)=-6.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar g tal que sua segunda derivada seja g''(x)=6x+16e^-4x+4sin2x+4cos2x, com as condições iniciais g(0)=-2 e g'(0)=-6. O conteúdo envolve integrações sucessivas de derivadas.

Passo 2

Integramos g''(x) para obter g'(x). Fazendo separado:
integral 6x,dx=3x^2,
integral 16e^-4x,dx=-4e^-4x,
integral 4sin2x,dx=-2cos2x,
integral 4cos2x,dx=2sin2x
Somando e incluindo a constante de integração C1 obtemos
g'(x)=3x^2-4e^-4x-2cos2x+2sin2x+C1

Passo 3

Usando a condição g'(0)=-6 temos
g'(0)=3cdot0^2-4e^0-2cos0+2sin0+C1=-4-2+0+C1=-6+C1overset!= -6,
logo C1=0. Assim
g'(x)=3x^2-4e^-4x-2cos2x+2sin2x

Passo 4

Agora integramos g'(x) para achar g(x). Separadamente:
integral 3x^2,dx=x^3,
integral -4e^-4x,dx=e^-4x,
integral -2cos2x,dx=-sin2x,
integral 2sin2x,dx=-cos2x
Somando e incluindo a constante C2:
g(x)=x^3+e^-4x-sin2x-cos2x+C2

Passo 5

Aplicando g(0)=-2 obtemos
g(0)=0+1-0-1+C2=C2=-2,
logo C2=-2 e portanto, g(x)=x^3+e^-4x-sin2x-cos2x-2.

Resposta

g(x)=x^3+e^-4x-sin2x-cos2x-2.

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