Prove que a área de todo o hemisfério superior S da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 é igual a 2 pi a^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área do hemisfério superior da esfera x^2 + y^2 + z^2 = a^2. O conteúdo envolve integração de superfície e coordenadas esféricas; vamos precisar de uma parametrização da superfície e do elemento de área |rphi times rtheta|.

Passo 2

Parametrizamos o hemisfério superior usando coordenadas esféricas:
r(phi,theta) = l(asinphicostheta,; asinphisintheta,; acosphir), phiin[0,tfracpi2],; thetain[0,2pi]
Essa parametrização cobre todo o hemisfério quando phi varia de 0 a tfracpi2 e theta de 0 a 2pi.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais e o módulo do produto vetorial:
rphi = l(acosphicostheta,; acosphisintheta,; -asinphir),
rtheta = l(-asinphisintheta,; asinphicostheta,; 0r),
|rphi times rtheta| = a^2sinphi
Então o elemento de área é dS = a^2sinphi,dphi,dtheta.

Passo 4

Montamos a integral para a área do hemisfério:
A = integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi/2 a^2sinphi,dphi,dtheta

Passo 5

Agora resolvemos a integral separando-a:
integral0^pi/2sinphi,dphi = 1, integral0^2pidtheta = 2pi
Logo
A = 2pi a^2

Resposta

2pi a^2

Exercícios relacionados