Prove que a área de todo o hemisfério superior
da esfera
é igual a
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área do hemisfério superior da esfera
. O conteúdo envolve integração de superfície e coordenadas esféricas; vamos precisar de uma parametrização da superfície e do elemento de área
.
Passo 2
Parametrizamos o hemisfério superior usando coordenadas esféricas:
Essa parametrização cobre todo o hemisfério quando
varia de 0 a
e
de 0 a
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais e o módulo do produto vetorial:
Então o elemento de área é
.
Passo 4
Montamos a integral para a área do hemisfério:
Passo 5
Agora resolvemos a integral separando-a:
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