(1,0): Calcule integral duplaS F cdot d S, onde S=S1 cup S2 cup S3 é a união do cilindro S1=(x, y, z) : x^2+y^2 <= 1,0 <= z <= 4 com os discos S2=(x, y, z): x^2+y^2 <= 1, z=0 e S3=(x, y, z) : x^2+y^2 <= 1, z=4, e o campo F é dado por F(x, y, z)=e^y^2 i+sen(x^2+z^2) j+tg(x^2+y^2) k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, onde S é a união de um cilindro S1 e dois discos S2 e S3. Vamos usar o conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para facilitar nossa vida. Para isso, vamos precisar calcular a divergência do campo F e encontrar o volume limitado por S.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que para um campo vetorial F e uma superfície fechada S que envolve um volume V, temos:
integral duplaS F cdot d S = integral triplaV nabla cdot F , dV
Isso significa que, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, podemos calcular a integral da divergência de F sobre o volume V limitado por S. Isso geralmente é mais simples.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. Nosso campo vetorial é:
F(x, y, z) = e^y^2 i + sin(x^2 + z^2) j + tan(x^2 + y^2) k
A divergência de F, denotada por nabla cdot F, é dada por:
nabla cdot F = partialpartial x ( e^y^2 ) + partialpartial y ( sin(x^2 + z^2) ) + partialpartial z ( tan(x^2 + y^2) )
Vamos derivar cada componente:
  1. partialpartial x ( e^y^2 ) = 0 (pois e^y^2 não depende de x)
  2. partialpartial y ( sin(x^2 + z^2) ) = 0 (pois sin(x^2 + z^2) não depende de y)
  3. partialpartial z ( tan(x^2 + y^2) ) = 0 (pois tan(x^2 + y^2) não depende de z)
Portanto,
nabla cdot F = 0 + 0 + 0 = 0

Passo 4

Agora que sabemos que nabla cdot F = 0, vamos aplicar o Teorema da Divergência:
integral duplaS F cdot d S = integral triplaV 0 , dV = 0
Isso significa que a integral de superfície que queremos calcular é igual a zero.

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot d S é igual a 0.

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