: Calcule
, onde
é a união do cilindro
com os discos
e
, e o campo
é dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície
, onde
é a união de um cilindro
e dois discos
e
. Vamos usar o conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, para facilitar nossa vida. Para isso, vamos precisar calcular a divergência do campo
e encontrar o volume limitado por
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que para um campo vetorial
e uma superfície fechada
que envolve um volume
, temos:
Isso significa que, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, podemos calcular a integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
. Isso geralmente é mais simples.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. Nosso campo vetorial é:
A divergência de
, denotada por
, é dada por:
Vamos derivar cada componente:
-
(pois não depende de ) -
(pois não depende de ) -
(pois não depende de )
Portanto,
Passo 4
Agora que sabemos que
, vamos aplicar o Teorema da Divergência:
Isso significa que a integral de superfície que queremos calcular é igual a zero.
Resposta
A integral de superfície
é igual a 0.