Um objeto está oscilando na extremidade de uma mola. Sua posição, em centímetros, em relação a um ponto fixo é dada como uma função do tempo t, em segundos, por:
y=y0 cos (2 pi w t), onde w é uma constante.
Determine uma expressão para a velocidade e para a aceleração do objeto.

Passo 1

A posição do objeto é dada por y(t)=y0cos(2pi w t). O conteúdo aqui é derivação de funções trigonométricas usando a regra da cadeia, pois temos uma composição cos(u) com u=2pi w t.

Passo 2

Para achar a velocidade v(t)=dydt, derivamos y(t): a derivada de cos(u) é -sin(u) e a derivada de u=2pi w t em relação a t é 2pi w. Assim,
v(t)=y0cdotl(-sin(2pi w t)r)cdot(2pi w)=-2pi w,y0sin(2pi w t)

Passo 3

Para achar a aceleração a(t)=dvdt, derivamos v(t)=-2pi w,y0sin(2pi w t). A derivada de sin(u) é cos(u) e, de novo, a derivada de u=2pi w t é 2pi w. Logo,
a(t)=-2pi w,y0cdotcos(2pi w t)cdot(2pi w)=-4pi^2w^2y0cos(2pi w t)

Resposta

A velocidade e a aceleração do objeto são, respectivamente:
v(t)=-2pi w,y0sin(2pi w t)
a(t)=-4pi^2w^2y0cos(2pi w t)

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