Existe um campo vetorial G em R^3 tal que rot G(x, y, z)=e^y+2 z(i+x j+2 x k) ? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se existe um campo vetorial em três dimensões ( ) tal que o rotacional de seja igual a .
Aqui estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com conceitos de rotacional (ou curl) e divergência de campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar uma condição importante: se a divergência do campo vetorial dado é zero. Se for, então existe um campo que satisfaz a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é divergência. A divergência de um campo vetorial nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z é uma medida de quanto o campo está “se expandindo” ou “se contraindo” em um ponto. Matemáticamente, é dada por:
F = e^y+2z i + e^y+2z x j + e^y+2z 2x k
No nosso caso, o campo vetorial nabla cdot F = partialpartial x ( e^y+2z ) + partialpartial y ( e^y+2z x ) + partialpartial z ( e^y+2z 2x ) é:
Vamos calcular a divergência de :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. Primeira derivada parcial:
    partialpartial x ( e^y+2z ) = 0
    Isso porque partialpartial y ( e^y+2z x ) = x cdot e^y+2z não depende de partialpartial z ( e^y+2z 2x ) = 2x cdot 2 e^y+2z = 4x e^y+2z .
  2. Segunda derivada parcial:
    nabla cdot F = 0 + x e^y+2z + 4x e^y+2z = 5x e^y+2z
    Aqui, derivamos em relação a e multiplicamos por .
  3. Terceira derivada parcial:
    Derivamos em relação a e multiplicamos por .
Somando tudo:

Passo 4

Agora, analisamos o resultado da divergência:
nabla cdot F = 5x e^y+2z
Para que exista um campo vetorial 5x e^y+2z neq 0 tal que , é necessário que . No nosso caso, temos:
Isso significa que a divergência de não é zero.

Resposta

Não, não existe um campo vetorial em tal que , pois a divergência do campo vetorial dado não é zero.

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