Existe um campo vetorial
em
tal que
? Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se existe um campo vetorial
em três dimensões (
) tal que o rotacional de
seja igual a
.
Aqui estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com conceitos de rotacional (ou curl) e divergência de campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar uma condição importante: se a divergência do campo vetorial dado é zero. Se for, então existe um campo
que satisfaz a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é divergência. A divergência de um campo vetorial
é uma medida de quanto o campo está “se expandindo” ou “se contraindo” em um ponto. Matemáticamente, é dada por:
No nosso caso, o campo vetorial
é:
Vamos calcular a divergência de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
-
Primeira derivada parcial:Isso porque
não depende de . -
Segunda derivada parcial:Aqui, derivamos
em relação a e multiplicamos por . -
Terceira derivada parcial:Derivamos
em relação a e multiplicamos por .
Somando tudo:
Passo 4
Agora, analisamos o resultado da divergência:
Para que exista um campo vetorial
tal que
, é necessário que
. No nosso caso, temos:
Isso significa que a divergência de
não é zero.
Resposta
Não, não existe um campo vetorial
em
tal que
, pois a divergência do campo vetorial dado não é zero.