Calcule as integrais a seguir:
integral0^pi sen^2(x2) cdot cos (x2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral0^pi sen^2(x2) cdot cos (x2) dx
Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que nos ajuda a simplificar a integral transformando-a em algo mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos chamar:
u = sen(x2)
Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 12 cos(x2) em relação a cos(x2) dx = 2 , du :
Isso implica que:

Passo 3

Vamos substituir integral0^pi sen^2(x2) cdot cos (x2) dx = integralu(0)^u(pi) u^2 cdot 2 , du e u(0) = sen(02) = sen(0) = 0 na integral original:
u(pi) = sen(pi2) = 1
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração. Quando 2 integral0^1 u^2 du :
E quando :
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral mais simples:
integral u^2 du = u^33 + C
Multiplicando pelo 2 que estava fora da integral:
2 cdot u^33 = 2u^33

Passo 5

Finalmente, substituímos os limites de integração e calculamos:
2u^33 |0^1 = 2(1)^33 - 2(0)^33 = 23 - 0 = 23

Resposta

A integral vale .

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