Calcule , onde , é a parte do parabolóide que está acima do plano , orientado para cima.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a parte do parabolóide que está acima do plano , orientada para cima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de superfície, que envolve parametrizar a superfície e calcular o produto escalar do campo vetorial com o vetor normal à superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície . Como está no parabolóide acima de , podemos usar coordenadas polares para facilitar os cálculos. Em coordenadas polares, temos:
onde varia de (já que quando ) até o infinito, mas para fins de integração, consideramos até onde a integral se contribui significativamente.
Passo 3
Agora, precisamos achar o vetor normal à superfície. Em parametrização, isso é dado pelo produto vetorial dos vetores derivadas em relação a e . Calculando:
O vetor normal é então:
Como a orientação é para cima, garantimos que a componente seja positiva.
Passo 4
Agora, calculamos o produto escalar . Substituindo na parametrização:
Então:
Passo 5
A integral de superfície se transforma em uma integral dupla sobre e . Como usamos coordenadas polares, os limites são:
Assim, a integral fica:
Passo 6
Vamos simplificar a integral. Note que os termos com integrarão a zero sobre a devido à simetria. Portanto, a integral simplifica para:
No entanto, percebemos que a integral diverge (vai ao infinito), o que indica que a integral de superfície não é finita para esta superfície específica.
Resposta
A integral de superfície integral duplaS F cdot d S diverge, ou seja, não possui um valor finito.