Calcule integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=y^2 i+x j+z^2 k, S é a parte do parabolóide z=x^2+y^2 que está acima do plano z=1, orientado para cima.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=y^2 i+x j+z^2 k. A superfície S é a parte do parabolóide z=x^2+y^2 que está acima do plano z=1, orientada para cima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de superfície, que envolve parametrizar a superfície e calcular o produto escalar do campo vetorial com o vetor normal à superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície S. Como S está no parabolóide z = x^2 + y^2 acima de z=1, podemos usar coordenadas polares para facilitar os cálculos. Em coordenadas polares, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = r^2
onde r varia de 1 (já que z=1 quando r=1) até o infinito, mas para fins de integração, consideramos até onde a integral se contribui significativamente.

Passo 3

Agora, precisamos achar o vetor normal à superfície. Em parametrização, isso é dado pelo produto vetorial dos vetores derivadas em relação a r e theta. Calculando:
rr = partial rpartial r = costheta, i + sintheta, j + 2r, k
rtheta = partial rpartial theta = -rsintheta, i + rcostheta, j
O vetor normal é então:
n = rr times rtheta = ( -2r^2costheta, i - 2r^2sintheta, j + r, k )
Como a orientação é para cima, garantimos que a componente k seja positiva.

Passo 4

Agora, calculamos o produto escalar F cdot n. Substituindo F(x, y, z) na parametrização:
F = y^2 i + x j + z^2 k = r^2sin^2theta, i + rcostheta, j + r^4, k
Então:
F cdot n = r^2sin^2theta (-2r^2costheta) + rcostheta (-2r^2sintheta) + r^4 (r) = -2r^4sin^2theta costheta - 2r^3costheta sintheta + r^5

Passo 5

A integral de superfície se transforma em uma integral dupla sobre r e theta. Como usamos coordenadas polares, os limites são:
r >= 1, 0 <= theta < 2pi
Assim, a integral fica:
integral duplaS F cdot d S = integral0^2pi integral1^infty ( -2r^4sin^2theta costheta - 2r^3costheta sintheta + r^5 ) r, dr, dtheta

Passo 6

Vamos simplificar a integral. Note que os termos com sintheta costheta integrarão a zero sobre 0 a 2pi devido à simetria. Portanto, a integral simplifica para:
integral0^2pi integral1^infty r^6 , dr, dtheta = integral0^2pi [ r^77 |1^infty ] dtheta
No entanto, percebemos que a integral diverge (vai ao infinito), o que indica que a integral de superfície não é finita para esta superfície específica.

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot d S diverge, ou seja, não possui um valor finito.

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