Calcule , onde , é a parte do plano que está no primeiro octante, orientada para cima.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a parte do plano que está no primeiro octante e orientada para cima.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de superfície. Precisamos parametrizar a superfície , encontrar o vetor normal orientado para cima e calcular o produto escalar entre o campo vetorial e esse vetor normal.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície . O primeiro octante significa que , , são todos maiores ou iguais a zero. A equação do plano é , então podemos resolver para :
Assim, podemos expressar a posição na superfície em função de e :
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para e . Como estamos no primeiro octante (, , ), da equação , temos:
Para , pode ir de a .
Para , pode ir de a .
Portanto, os limites são:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar o vetor normal à superfície . A orientação é para cima, então queremos que a componente do vetor normal seja positiva. A parametrização da superfície nos dá os vetores tangentes e :
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
Passo 5
Agora, podemos expressar a integral de superfície utilizando a parametrização:
integral duplaS F cdot d S = integral duplaD F(r(x,y)) cdot n , dx , dy
Onde D é a região no plano xy com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2 - 2x.
Substituindo F na parametrização:
F(r(x,y)) = x i + y j + x y (2 - 2x - y) k
Calculando o produto escalar F cdot n:
F cdot n = x cdot 2 + y cdot 1 + x y (2 - 2x - y) cdot 1 = 2x + y + 2xy - 2x^2 y - x y^2
Passo 6
Assim, a integral de superfície fica:
integral duplaD (2x + y + 2xy - 2x^2 y - x y^2) , dy , dx
Vamos integrar primeiro em relação a y, de 0 a 2 - 2x, e depois em relação a x, de 0 a 1.
Passo 7
Integrando termo a termo em relação a y:
integral0^2-2x 2x , dy = 2x (2 - 2x) = 4x - 4x^2
integral0^2-2x y , dy = 12 y^2 gr|0^2-2x = 2 - 4x + 2x^2