Calcule integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=x i+y j+x y z k, S é a parte do plano 2 x+y+z=2 que está no primeiro octante, orientada para cima.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=x i+y j+x y z k. A superfície S é a parte do plano 2x + y + z = 2 que está no primeiro octante e orientada para cima.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de superfície. Precisamos parametrizar a superfície S, encontrar o vetor normal orientado para cima e calcular o produto escalar entre o campo vetorial F e esse vetor normal.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície S. O primeiro octante significa que x, y, z são todos maiores ou iguais a zero. A equação do plano é 2x + y + z = 2, então podemos resolver para z:
z = 2 - 2x - y
Assim, podemos expressar a posição na superfície S em função de x e y:
r(x,y) = x i + y j + (2 - 2x - y) k

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para x e y. Como estamos no primeiro octante ( x >= 0, y >= 0, z >= 0), da equação z = 2 - 2x - y >= 0, temos:
2x + y <= 2
Para x = 0, y pode ir de 0 a 2.
Para y = 0, x pode ir de 0 a 1.
Portanto, os limites são:
0 <= x <= 1 0 <= y <= 2 - 2x

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o vetor normal à superfície S. A orientação é para cima, então queremos que a componente k do vetor normal seja positiva. A parametrização da superfície nos dá os vetores tangentes rx e ry:
rx = partial rpartial x = i - 2 k ry = partial rpartial y = j - k
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
n = rx times ry = i & j & k 1 & 0 & -2 0 & 1 & -1 = 2 i + j + k

Passo 5

Agora, podemos expressar a integral de superfície utilizando a parametrização:
integral duplaS F cdot d S = integral duplaD F(r(x,y)) cdot n , dx , dy
Onde D é a região no plano xy com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2 - 2x.
Substituindo F na parametrização:
F(r(x,y)) = x i + y j + x y (2 - 2x - y) k
Calculando o produto escalar F cdot n:
F cdot n = x cdot 2 + y cdot 1 + x y (2 - 2x - y) cdot 1 = 2x + y + 2xy - 2x^2 y - x y^2

Passo 6

Assim, a integral de superfície fica:
integral duplaD (2x + y + 2xy - 2x^2 y - x y^2) , dy , dx
Vamos integrar primeiro em relação a y, de 0 a 2 - 2x, e depois em relação a x, de 0 a 1.

Passo 7

Integrando termo a termo em relação a y:
  1. integral0^2-2x 2x , dy = 2x (2 - 2x) = 4x - 4x^2
  2. integral0^2-2x y , dy = 12 y^2 gr|0^2-2x = 2 - 4x + 2x^2
  3. integral0^2-2x 2xy , dy = 4x - 8x^2 + 4x^3
  4. integral0^2-2x (-2x^2 y) , dy = -4x^2 + 8x^3 - 4x^4
  5. integral0^2-2x (-x y^2) , dy = -8x3 + 8x^2 - 8x^3 + 8x^43

Passo 8

Somando todos os resultados:
2 - 8x3 -6x^2 +4x^3 - 43x^4

Passo 9

Agora, integramos em relação a x, de 0 a 1:
integral0^1 (2 - 8x3 -6x^2 +4x^3 - 43x^4 ) dx = [2x - 43x^2 -2x^3 + x^4 - 415x^5 ]0^1
Calculando em x = 1:
2(1) - 43(1)^2 -2(1)^3 + (1)^4 - 415(1)^5 = 2 - 43 -2 +1 - 415 = -35

Resposta

A integral de superfície integral duplaS F cdot d S é igual a -dfrac35.

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