Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
ao longo do caminho
, que é uma elipse definida por
. Isso envolve o estudo de integrais de linha em campos vetoriais, e para facilitar, vamos usar o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a integral de linha está fazendo. A integral
representa uma circulação de um campo vetorial ao longo da curva
. Aqui,
e
.
Passo 3
Para resolver isso de forma mais simples, vamos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área limitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 5
Agora, nossa integral dupla fica:
Isso significa que precisamos calcular 4 vezes a área da região
limitada pela elipse
.
Passo 6
Vamos encontrar a área da elipse
. Podemos reescrever a equação dividindo tudo por 36:
Aqui, vemos que os semi-eixos da elipse são
e
. A fórmula para a área de uma elipse é:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, substituímos a área na nossa integral dupla:
Resposta
A integral de linha
ao longo da curva
é igual a
.