Calcule as seguintes integrais de linha ao longo do caminho indicado:
ointC(3 y d x+7 x d y) ; C: 9 x^2+4 y^2=36;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha ao longo do caminho , que é uma elipse definida por . Isso envolve o estudo de integrais de linha em campos vetoriais, e para facilitar, vamos usar o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral de linha está fazendo. A integral representa uma circulação de um campo vetorial ao longo da curva . Aqui, e .

Passo 3

Para resolver isso de forma mais simples, vamos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área limitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (7x) = 7
partial Ppartial y = partialpartial y (3y) = 3
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 7 - 3 = 4

Passo 5

Agora, nossa integral dupla fica:
integral duplaD 4 , dA
Isso significa que precisamos calcular 4 vezes a área da região limitada pela elipse .

Passo 6

Vamos encontrar a área da elipse x^24 + y^29 = 1 . Podemos reescrever a equação dividindo tudo por 36:
Área = pi a b
Aqui, vemos que os semi-eixos da elipse são Área = pi times 2 times 3 = 6pi e . A fórmula para a área de uma elipse é:
Á
Substituindo os valores:
Á

Passo 7

Agora, substituímos a área na nossa integral dupla:
integral duplaD 4 , dA = 4 times 6pi = 24pi

Resposta

A integral de linha ao longo da curva é igual a .

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