Calcule
, onde
,
é o hemisfério
, orientado da direção positiva do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral dupla
onde a força vetorial é
. A superfície
é um hemisfério definido por
com
, e está orientada na direção positiva do eixo
. Vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar esse cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
. A fórmula é:
Como o nosso hemisfério não é uma superfície fechada, vamos fechar ele adicionando a base no plano
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Para
, temos:
Então,
.
Passo 4
Como a divergência é zero, a integral de fluxo sobre qualquer superfície fechada será zero:
Aqui,
é o hemisfério
mais a base no plano
.
Passo 5
Agora, vamos separar as integrais:
Queremos encontrar
, então vamos isolar essa integral:
Passo 6
Vamos calcular a integral sobre a base. Na base,
, então
. O vetor diferencial de área
está na direção negativa do eixo
, então
.
Portanto,
Então,
Passo 7
Na base
do hemisfério
, podemos usar coordenadas polares no plano
. Vamos parametrizar com
,
, onde
vai de 0 a 1 e
de
a
.
O elemento de área em coordenadas polares é
.
Como
, a integral fica:
Passo 8
Calculando a integral interna:
Então,
Passo 9
Agora, calculamos a integral externa:
Portanto,
Passo 10
Voltando à nossa equação anterior:
Resposta
A integral de superfície é igual a zero, ou seja: