Calcule integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=y i+z j+x k, S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=1, y >= 0, orientado da direção positiva do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral dupla integral duplaS F cdot d S onde a força vetorial é F(x, y, z) = y i + z j + x k. A superfície S é um hemisfério definido por x^2+y^2+z^2=1 com y >= 0, e está orientada na direção positiva do eixo y. Vamos usar o Teorema da Divergência para facilitar esse cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral da divergência de F sobre o volume V limitado por S. A fórmula é:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Como o nosso hemisfério não é uma superfície fechada, vamos fechar ele adicionando a base no plano y=0.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Para F(x, y, z) = y i + z j + x k, temos:
partial Fxpartial x = partial ypartial x = 0
partial Fypartial y = partial zpartial y = 0
partial Fzpartial z = partial xpartial z = 0
Então, nabla cdot F = 0 + 0 + 0 = 0.

Passo 4

Como a divergência é zero, a integral de fluxo sobre qualquer superfície fechada será zero:
integral duplaSfechada F cdot dS = 0
Aqui, Sfechada é o hemisfério S mais a base no plano y=0.

Passo 5

Agora, vamos separar as integrais:
integral duplaS F cdot dS + integral duplabase F cdot dS = 0
Queremos encontrar integral duplaS F cdot dS, então vamos isolar essa integral:
integral duplaS F cdot dS = -integral duplabase F cdot dS

Passo 6

Vamos calcular a integral sobre a base. Na base, y=0, então F = 0 i + z j + x k. O vetor diferencial de área dS está na direção negativa do eixo y, então dS = -j , dA.
Portanto,
F cdot dS = (0 i + z j + x k) cdot (-j) = -z
Então,
integral duplabase F cdot dS = integral duplabase (-z) , dA

Passo 7

Na base y=0 do hemisfério x^2+z^2 =1, podemos usar coordenadas polares no plano xz. Vamos parametrizar com x = r costheta, z = r sintheta, onde r vai de 0 a 1 e theta de 0 a 2pi.
O elemento de área em coordenadas polares é dA = r , dr , dtheta.
Como z = r sintheta, a integral fica:
-integral duplabase z , dA = -integral0^2pi integral0^1 r sintheta cdot r , dr , dtheta = -integral0^2pi sintheta ( integral0^1 r^2 , dr ) dtheta

Passo 8

Calculando a integral interna:
integral0^1 r^2 , dr = [ r^33 ]0^1 = 13
Então,
-integral duplabase z , dA = -13 integral0^2pi sintheta , dtheta

Passo 9

Agora, calculamos a integral externa:
integral0^2pi sintheta , dtheta = [ -costheta ]0^2pi = -cos(2pi) + cos(0) = -1 + 1 = 0
Portanto,
-integral duplabase z , dA = -13 cdot 0 = 0

Passo 10

Voltando à nossa equação anterior:
integral duplaS F cdot dS = -integral duplabase F cdot dS = -0 = 0

Resposta

A integral de superfície é igual a zero, ou seja:
integral duplaS F cdot d S = 0

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