Calcule a integral integral duplaS F cdot n d S.
F(x, y, z)=(x, y, z) e S é a superfície do sólido W=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2 <= 1 e x^2+y^2+z^2 <= 4, vetor normal n exterior.

Passo 1

O problema pede o fluxo integral duplaS Fcdot n,dS para F(x,y,z)=(x,y,z) através da superfície S de um sólido W=(x,y,z)mid x^2+y^2<=1,;x^2+y^2+z^2<=4. O conteúdo central é o Teorema da Divergência — vamos precisar do divergente de F e do volume de W.

Passo 2

O divergente de F é dado por
nablacdot F = partial xpartial x+partial ypartial y+partial zpartial z = 1+1+1 = 3

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência temos
integral duplaS Fcdot n,dS = integral triplaW(nablacdot F),dV = 3integral triplaWdV = 3,Vol(W)

Passo 4

Para achar Vol(W) use coordenadas cilíndricas (r,theta,z) com 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi e
-raiz4-r^2<= z<=raiz4-r^2
Assim
Vol(W) = integral0^2pi!integral0^1!integral-raiz4-r^2^raiz4-r^2 r,dz,dr,dtheta = 2pi integral0^12rraiz4-r^2,dr
Fazendo a substituição u=4-r^2, du=-2r,dr, de r=0 a r=1 (isto é, u=4 a u=3):
integral0^12rraiz4-r^2,dr = integral4^3-raizu,du = integral3^4raizu,du = l[tfrac23u^3/2r]3^4 = tfrac23(8 - 3raiz3)
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Vol(W) = 2pi cdot tfrac23(8 - 3raiz3) = tfrac4pi3(8 - 3raiz3) = tfrac32pi3 - 4piraiz3

Passo 5

Multiplicando por 3 obtemos o fluxo:
integral duplaS Fcdot n,dS = 3,Vol(W) = 3l(tfrac32pi3 - 4piraiz3r) = 32pi - 12piraiz3

Resposta

32pi - 12piraiz3

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