Questão 2.
c) Método de Euler. O método de Euler é uma maneira de se estimar o valor de uma solução de um PVI em um determinado instante de tempo. Se x(t) é uma solução da EDO
x^prime f(t, x)
então, pela fórmula de Taylor, pode-se dizer que, se De é pequeno, x(t+De
Suponha que x(t0)=x0. Fixado um step pequeno De, sejam tn=t0+n De x(tn)=xn. Aplicando a aproximação acima sucessivamente, pode-se escrever que, aproximadamente:
x1 approx x0+f(t0, x0) De
Seja x(t) a solução da EDO x^1=x(x-1) tal que x(0)=0,3. Utilizando um step De no método de Euler, estime o valor de x(2). Dica: Ele corresponde a x4 no esquema acima.

Passo 1

A questão nos dá o PVI com a EDO x'=x(x-1) e condição inicial x(0)=0,3. Precisamos usar o método de Euler com passo De para estimar x(2), que corresponde a x4 no esquema recursivo.

Passo 2

O método de Euler diz que, aproximadamente,
xn = xn-1 + f(tn-1,xn-1),De onde aqui f(t,x)=x(x-1) não depende explicitamente de t.

Passo 3

Calculamos então:
Para n=1: temos f(x0)=0,3(0,3-1)=-0,21, então
x1 = x0 + f(x0),De.
Para n=2: f(x1)=0,195(0,195-1)approx -0,156975, então
x2 = 0,195 + (-0,156975)times0,5 approx 0,1165125.
Para n=3: f(x2)=0,1165125(0,1165125-1)approx -0,102925, então
x3 = 0,1165125 + (-0,102925)times0,5 approx 0,06505.
Para n=4: f(x3)=0,06505(0,06505-1)approx -0,06083, então
x4 = 0,06505 + (-0,06083)times0,5 approx 0,03464.

Resposta

A estimativa pelo método de Euler de x(2) com De é aproximadamente 0,0346.

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