Calcule integral duplaS-x z^2 d y d z+(2-y) z^2 d z d x+(y+z x^2) d x d y, onde n aponta no sentido de afastamento da origem e S é a porção do cilindro x^2+z^2=4, x >= 0, z >= 0, compreendida entre os planos x-y=2 e 2 x+y=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície ∬_S P ady adz + Q adz adx + R adx ady sobre a porção do cilindro x²+z²=4 (com x,z≥0) limitada pelos planos x−y=2 e 2x+y=4, com n apontando para fora (afastamento da origem). O conteúdo é fluxo de F=(P,Q,R) através de S, e vamos usar parametrização do cilindro e fórmula de fluxo via r_t×r_u.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro por r(t,y)=(2cos t,,y,,2sin t), com tin[0,tfracpi2] (varre x,z≥0) e y variando entre as duas retas: y1=x-2=2cos t-2 e y2=4-2x=4-4cos t. Calculamos rt=(-2sin t,0,2cos t) e ry=(0,1,0).
Para achar a normal externa usamos rttimes ry=(-2cos t,0,-2sin t) que aponta para dentro, então n,dS=-rttimes ry=(2cos t,0,2sin t),dt,dy, alinhado com o afastamento da origem.

Passo 3

Substituímos x=2cos t, z=2sin t em P e R (Q não contribui pois multiplica a componente zero):
P= -x z^2 = -8cos tsin^2 t,
R= y+z x^2= y+8sin tcos^2 t.
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Fcdot n,dS = P,(2cos t) + R,(2sin t) = -16cos^2 tsin^2 t +2ysin t +16sin^2 tcos^2 t = 2ysin t

Passo 4

A integral vira
integralt=0^pi/2integraly=y1^y22ysin t,dy,dt = integral0^pi/2(y2^2-y1^2)sin t,dt
Como y2=4(1-cos t) e y1=-2(1-cos t), temos
y2^2-y1^2=12(1-cos t)^2.
Então a integral é
integral0^pi/212(1-cos t)^2sin t,dt

Passo 5

Fazendo a mudança u=1-cos t, du=sin t,dt, de u(0)=0 a u(pi/2)=1, obtemos
integral0^1 12u^2,du = 123

Resposta

4

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