Calcule
, onde
aponta no sentido de afastamento da origem e
é a porção do cilindro
, compreendida entre os planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície ∬_S P ady adz + Q adz adx + R adx ady sobre a porção do cilindro x²+z²=4 (com x,z≥0) limitada pelos planos x−y=2 e 2x+y=4, com n apontando para fora (afastamento da origem). O conteúdo é fluxo de F=(P,Q,R) através de S, e vamos usar parametrização do cilindro e fórmula de fluxo via r_t×r_u.
Passo 2
Parametrizamos o cilindro por
, com
(varre x,z≥0) e
variando entre as duas retas:
e
. Calculamos
e
.
Para achar a normal externa usamos que aponta para dentro, então
, alinhado com o afastamento da origem.
Para achar a normal externa usamos
Passo 3
Substituímos
,
em P e R (Q não contribui pois multiplica a componente zero):
P= =
,
R= =
.
Logo
P=
R=
Logo
Passo 4
A integral vira
Como
Então a integral é
Passo 5
Fazendo a mudança
,
, de
a
, obtemos
Resposta
4