Calcule
, com
e
é a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano
com
e
numeros reais positivos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
de um tetraedro definido pelos planos coordenados e pelo plano
, onde
,
e
são números reais positivos. Para isso, vamos usar o conceito de Teorema da Divergência que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral tripla da divergência de
sobre o volume
limitado por essa superfície. Em fórmula:
Isso facilita muito nosso trabalho, porque calcular a divergência e integrá-la sobre o volume costuma ser mais simples do que calcular o fluxo diretamente através de cada face da superfície.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Onde
. Calculando cada termo:
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral tripla
sobre o volume
do tetraedro. Vamos descrever os limites de integração. Os limites são determinados pelos planos que envolvem o tetraedro:
Primeiro, resolvemos para
:
Então, os limites de
vão de 0 até
.
Para
, encontramos quando
:
Então,
varia de 0 até
.
Por fim, para
, quando
e
:
Então,
varia de 0 até
.
Passo 5
Agora, configuramos a integral tripla com esses limites:
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integração em
:
Passo 6
Substituímos o resultado da integração em
na integral de
:
Vamos expandir e integrar termo a termo:
Calculando cada integral:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral de
:
Vamos simplificar substituindo
, então
e
. Os limites de integração mudam de
para
e
para
. Substituindo:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é
.