Calcule integral duplaS f cdot n d S, com F=(z, y,-x z) e S é a superfície do tetraedro limitado pelos planos coordenados e pelo plano
xa+yb+zc=1
com a, b e c numeros reais positivos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície de um tetraedro definido pelos planos coordenados e pelo plano , onde , e são números reais positivos. Para isso, vamos usar o conceito de Teorema da Divergência que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que o fluxo de um campo vetorial integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV através de uma superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre o volume limitado por essa superfície. Em fórmula:
Isso facilita muito nosso trabalho, porque calcular a divergência e integrá-la sobre o volume costuma ser mais simples do que calcular o fluxo diretamente através de cada face da superfície.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência é dada por:
partial Fxpartial x = partial zpartial x = 0
Onde partial Fypartial y = partial ypartial y = 1 . Calculando cada termo:
partial Fzpartial z = partial (-xz)partial z = -x
nabla cdot F = 0 + 1 + (-x) = 1 - x
Então, a divergência é:

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral tripla zc = 1 - xa - yb Rightarrow z = c(1 - xa - yb) sobre o volume 1 - xa - yb = 0 Rightarrow y = b(1 - xa) do tetraedro. Vamos descrever os limites de integração. Os limites são determinados pelos planos que envolvem o tetraedro:
  1. x = a
Primeiro, resolvemos para :
Então, os limites de vão de 0 até .
Para , encontramos quando :
Então, varia de 0 até .
Por fim, para , quando e :
Então, varia de 0 até .

Passo 5

Agora, configuramos a integral tripla com esses limites:
integral triplaV (1 - x) , dV = integral0^a integral0^b(1 - xa) integral0^c(1 - xa - yb) (1 - x) , dz , dy , dx
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integração em integral0^c(1 - xa - yb) (1 - x) , dz = (1 - x) cdot c(1 - xa - yb) :

Passo 6

Substituímos o resultado da integração em integral0^b(1 - xa) c(1 - x)(1 - xa - yb) , dy na integral de c(1 - x)[ integral0^b(1 - xa) 1 , dy - xa integral0^b(1 - xa) , dy - 1b integral0^b(1 - xa) y , dy ] :
integral0^b(1 - xa) 1 , dy = b(1 - xa)
Vamos expandir e integrar termo a termo:
integral0^b(1 - xa) y , dy = 12 [ y^2 ]0^b(1 - xa) = 12 b^2 (1 - xa)^2
Calculando cada integral:
c(1 - x)[ b(1 - xa) - xa cdot b(1 - xa) - 1b cdot 12 b^2 (1 - xa)^2 ]
= c(1 - x)[ b(1 - xa)(1 - xa) - 12 b (1 - xa)^2 ]
Substituindo de volta:
= c(1 - x) cdot 12 b (1 - xa)^2
= 12 bc (1 - x)(1 - xa)^2

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral de integral0^a 12 bc (1 - x)(1 - xa)^2 , dx :
12 bc integral1^0 (1 - a(1 - u)) u^2 (-a du)
Vamos simplificar substituindo = 12 bc integral0^1 (1 - a + a u) u^2 a du , então = 12 a bc integral0^1 (1 - a + a u) u^2 du e = 12 a bc [ integral0^1 (1 - a) u^2 du + integral0^1 a u^3 du ] . Os limites de integração mudam de integral0^1 u^2 du = 13 para integral0^1 u^3 du = 14 e 12 a bc [ (1 - a) cdot 13 + a cdot 14 ] para = 12 a bc ( 1 - a3 + a4 ) . Substituindo:
= 12 a bc ( 4(1 - a) + 3a12 )
= 12 a bc ( 4 - 4a + 3a12 )
= 12 a bc ( 4 - a12 )
= a bc (4 - a)24
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

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