Encontre a solução u(r, theta) para o problema no semidisco
De
Assumindo que u representa temperatura, encontre as isotermas e esboce o gráfico delas como curvas de nível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução $ u(r, \theta) $ para um problema envolvendo a equação de Laplace em um semidisco. A equação de Laplace é usada para descrever situações como distribuição de temperatura em equilíbrio. Aqui, temos condições nas bordas do semidisco que vamos usar para encontrar $ u(r, \theta) $. Para resolver, vamos precisar usar coordenadas polares, separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Laplace em coordenadas polares:
De
Nosso objetivo é encontrar uma função $ u(r, \theta) $ que satisfaça essa equação dentro do semidisco $ 0 < r < 1 $ e $ 0 < \theta < \pi $, além das condições de contorno dadas.

Passo 3

Vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma só de $ r $ e outra só de $ \theta $:
r
Substituindo isso na equação de Laplace, temos:
theta
Dividindo ambos os lados por $ R \Theta $ e multiplicando por $ r^2 $:
u(r, theta) = R(r) Theta(theta)
Como os dois termos dependem de variáveis diferentes, cada um deve ser igual a uma constante, digamos $ -\lambda $.

Passo 4

Isso nos dá duas equações separadas:
  1. Para $ \Theta(\theta) $:
Theta(theta)
  1. Para $ R® $:
d^2 Thetad theta^2 + lambda Theta = 0
Vamos resolver essas equações uma de cada vez.

Passo 5

Começando com a equação para $ \Theta(\theta) $:
Theta(theta)
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com soluções trigonométricas. As soluções são:
d^2 Thetad theta^2 + lambda Theta = 0
onde $ \lambda = n^2 $ e $ n $ é um número inteiro positivo, devido às condições de contorno $ u(r, 0) = u(r, \pi) = 0 $.

Passo 6

Agora, resolvemos a equação para $ R® $ com $ \lambda = n^2 $:
R(r)
Essa é a equação de Cauchy-Euler, cuja solução geral é:
lambda = n^2
Mas como queremos soluções finitas em $ r = 0 $, descartamos o termo $ r^{-n} $, então:
r ddr(r dRdr) - n^2 R = 0 Rightarrow r^2 d^2 Rdr^2 + r dRdr - n^2 R = 0

Passo 7

Assim, a solução geral para cada $ n $ é:
n
Aplicando as condições de contorno $ u(r, 0) = u(r, \pi) = 0 $, percebemos que só os termos de seno permanecem, pois $ \sin(n \cdot 0) = 0 $ e $ \sin(n \pi) = 0 $. Então:
un(r, theta) = (Cn r^n) ( An cos(n theta) + Bn sin(n theta) )

Passo 8

A solução completa é a soma de todas essas soluções para diferentes valores de $ n $:
n
Agora, vamos determinar os coeficientes $ C_n $ usando a condição na borda $ r = 1 $:
u(r, theta) = sumn=1^infty Cn r^n sin(n theta)
Isso é uma série de Fourier para a função $ \theta(\pi - \theta) $ no intervalo $ 0 \leq \theta \leq \pi $.

Passo 9

Para encontrar $ C_n $, usamos a fórmula dos coeficientes de uma série de Fourier para funções ímpares (já que estamos usando senos):
Cn
Esse cálculo envolve integração por partes e resulta em:
Cn = 2pi integral0^pi theta(pi - theta) sin(n theta) dtheta
Então, a solução completa fica:
Cn = 4(pi)(-1)^n+1n^3

Passo 10

Agora que temos $ u(r, \theta) $, podemos encontrar as isotermas, que são as curvas onde a temperatura $ u $ é constante. Essas isotermas são dadas por:
u(r, theta)
Para esboçar as isotermas, fixamos diferentes valores para a constante e plotamos as curvas correspondentes no semidisco.

Resposta

A solução para o problema no semidisco é dada pela série:
u(r, theta) = sumn=1^infty 4(-1)^n+1n^3 r^n sin(n theta)
As isotermas, ou curvas de nível, são as curvas onde $ u(r, \theta) $ é constante e podem ser esboçadas resolvendo a equação acima para diferentes valores de $ u $.

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