F(x, y, z)=(y-z, z-x, x-y)
gamma(t)=(a cos t, a sin t, b t), t in[0,2 pi]
Escolha uma opção:
-2 pi a^2
  • 2 pi a(a+b)
  • -2 pi a(a+b)
  • -2 pi a^2 b
  • 2 pi a^2 b

Passo 1

O enunciado nos dá um campo vetorial vec F(x,y,z) = (y - z,,z - x,,x - y) e uma curva helicoidal gamma(t) = (acos t,,asin t,,b t), com tin[0,2pi]. Precisamos calcular a integral de linha integralgamma vec Fcdot dvec r. Vamos usar parametrização, produto escalar e integração.

Passo 2

Para aplicar a definição integralgamma vec Fcdot dvec r = integral0^2pi vec F(gamma(t))cdotgamma'(t),dt, primeiro obtemos
gamma'(t) = (-asin t,,acos t,,b)
Depois calculamos vec F(gamma(t)):
vec F(gamma(t)) = (asin t - b t,,b t - acos t,,acos t - asin t)

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar
vec F(gamma(t))cdotgamma'(t) =(asin t - b t)(-asin t) +(b t - acos t)(acos t) +(acos t - asin t),b
Expandindo, isolamos uma parte constante -a^2) e os termos que envolvem tsin t, tcos t, sin t e cos t.

Passo 4

Organizamos a integral em partes:
integral0^2pil(-a^2r)dt + a bintegral0^2pitsin t,dt + a bintegral0^2pitcos t,dt + a bintegral0^2picos t,dt - a bintegral0^2pisin t,dt

Passo 5

Calculamos cada termo:
  • integral0^2pi(-a^2)dt = -2pi a^2
  • integral0^2pitsin t,dt = -2pi
  • integral0^2pitcos t,dt = 0
  • integral0^2picos t,dt = 0, integral0^2pisin t,dt = 0
    Somando tudo vem
-2pi a^2 + a b(-2pi) = -2pi a(a+b)

Resposta

-2\pi a(a+b)

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