O conjunto dos pontos interseção da élice r(t)=cos (pi t) i+sin (pi t) j+t k com o cone z^2=x^2+y^2 está contido no plano de equação
Escolha uma opção:
x=0
y+z=0
z=0
x+y=0
y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos onde uma hélice dada por intersecta um cone definido pela equação . Depois, precisamos descobrir em qual dos planos fornecidos esses pontos estão contidos. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica e resolução de equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos:
A hélice é definida por:
x(t) = cos(pi t) y(t) = sin(pi t) z(t) = t
O cone é definido por:
z^2 = x^2 + y^2
Para encontrar os pontos de interseção, vamos substituir , e na equação do cone.

Passo 3

Substituindo na equação do cone:
z^2 = x^2 + y^2 t^2 = cos^2(pi t) + sin^2(pi t)
Sabemos que t^2 = 1 , então:
t = 1 e t = -1
Isso nos dá duas soluções para :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas desses pontos substituindo x(1) = cos(pi cdot 1) = -1 y(1) = sin(pi cdot 1) = 0 z(1) = 1 e x(-1) = cos(-pi) = -1 y(-1) = sin(-pi) = 0 z(-1) = -1 nas equações da hélice.
Para :
Então, o ponto é .
Para :
Então, o ponto é .

Passo 5

Agora temos os pontos de interseção: e .
Vamos verificar em qual plano esses pontos estão contidos. Observando as coordenadas, vemos que para ambos os pontos.

Resposta

O conjunto dos pontos de interseção está contido no plano .

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