Calcule a integral para o campo vetorial e a superfície abaixo. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para o exterior). é o helicoide parametrizado por , com orientação ascendente
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de superfície para um campo vetorial dado e uma superfície que é um helicoide parametrizado por , com e . A orientação é ascendente, ou seja, para cima. Vamos resolver isso usando cálculo vetorial, especificamente usando parametrizações de superfícies e integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a parametrização da superfície . A função descreve o helicoide. Aqui, varia de 0 a 1 e de 0 a . Para calcular a integral de superfície, vamos precisar das derivadas parciais de em relação a e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Essas derivadas são vetores tangentes à superfície nas direções de e .
Passo 4
Agora, para encontrar o vetor normal à superfície, fazemos o produto vetorial das derivadas parciais:
Vamos calcular esse produto:
Simplificando:
Como , temos:
Passo 5
A integral de superfície é dada por:
Primeiro, vamos substituir na parametrização:
Agora, vamos calcular o produto escalar :
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla com os limites de e :
Vamos integrar em ordem de primeiro e depois em , com variando de 0 a 1 e de 0 a .
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos em :
Somando tudo:
Agora, integramos em integral0^1 v sen(v) , du = v sen(v) cdot u |0^1 = v sen(v) de 0 a integral0^1 -u sen(v) cos(v) , du = -sen(v) cos(v) cdot u^22 |0^1 = -12 sen(v) cos(v) :