Calcule a integral integral duplaS F d S para o campo vetorial F e a superfície S abaixo. Para superfícies fechadas, use a orientação positiva (para o exterior).
F(x, y, z)=(z, y, x), S é o helicoide parametrizado por r(u, v)=(u cos (v), u sen(v), v), 0 <= u <= 1,0 <= v <= pi com orientação ascendente

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de superfície integral duplaS F , dS para um campo vetorial dado F(x, y, z) = (z, y, x) e uma superfície S que é um helicoide parametrizado por , com r(u, v) = (u cos(v), u sen(v), v) e 0 <= u <= 1. A orientação é ascendente, ou seja, para cima. Vamos resolver isso usando cálculo vetorial, especificamente usando parametrizações de superfícies e integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a parametrização da superfície S. A função descreve o helicoide. Aqui, r(u, v) = (u cos(v), u sen(v), v) varia de 0 a 1 e u de 0 a v. Para calcular a integral de superfície, vamos precisar das derivadas parciais de pi em relação a r e u.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Essas derivadas são vetores tangentes à superfície nas direções de partial rpartial u = (cos(v), sen(v), 0) e partial rpartial v = (-u sen(v), u cos(v), 1) .

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor normal à superfície, fazemos o produto vetorial das derivadas parciais:
N = partial rpartial u times partial rpartial v
Vamos calcular esse produto:
Simplificando:
Como , temos:

Passo 5

A integral de superfície é dada por:
integral duplaS F cdot n , dS = integral duplaD F(r(u, v)) cdot N , du , dv
Primeiro, vamos substituir F na parametrização:
Agora, vamos calcular o produto escalar F(r(u, v)) = (z, y, x) = (v, u sen(v), u cos(v)) :

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla com os limites de u e v:
Vamos integrar em ordem de integral duplaD (v sen(v) - u sen(v) cos(v) + u^2 cos(v)) , du , dv primeiro e depois em u, com v variando de 0 a 1 e u de 0 a v.

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos em integral0^pi integral0^1 ( v sen(v) - u sen(v) cos(v) + u^2 cos(v) ) du , dv :
u
Somando tudo:
Agora, integramos em integral0^1 v sen(v) , du = v sen(v) cdot u |0^1 = v sen(v) de 0 a integral0^1 -u sen(v) cos(v) , du = -sen(v) cos(v) cdot u^22 |0^1 = -12 sen(v) cos(v) :
Vamos resolver cada parte:
  1. : Integração por partes.
  2. : Substituição simples.
  3. integral0^1 u^2 cos(v) , du = cos(v) cdot u^33 |0^1 = 13 cos(v) : Integra�o direta.
Após calcular todas as integrais, somamos os resultados para obter a resposta final.

Resposta

Após realizar todas as integrações, a integral de superfície integral duplaS F , dS vale 2. Portanto, a resposta final é:
integral duplaS F , dS = 2

Exercícios relacionados