Calcule integral duplaS f d S, em que:
f(x, y, z)=x z e S é a parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de superfície integral duplaS f,dS onde f(x,y,z)=x z e S é a porção do plano x+y+z=1 no primeiro octante. O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar, e vamos precisar parametrizar a superfície e usar a fórmula de dS.

Passo 2

Parametrizamos S projetando-a no plano xy. Da equação do plano temos z=1-x-y, e a parametrização é
r(x,y)=(x,y,1-x-y),
com domínio
D=(x,y)mid x>=0, y>=0, x+y<=1

Passo 3

Para cálculo de dS usamos
dS=raiz1+l(partial zpartial xr)^2+l(partial zpartial yr)^2,dx,dy =raiz1+(-1)^2+(-1)^2,dx,dy=raiz3,dx,dy

Passo 4

Na parametrização substituímos z=1-x-y em f, obtendo o integrando
f(x,y,1-x-y)=x(1-x-y)
Então a integral de superfície se escreve
integral duplaS f,dS=integral0^1integral0^1-xx(1-x-y),raiz3,dy,dx

Passo 5

Agora calculamos a integral iterada. Primeiro em y:
integral0^1-xx(1-x-y),dy=xl[(1-x)y-y^22r]0^1-x=x(1-x)^22
Depois em x:
integral duplaSf,dS=raiz3integral0^1x(1-x)^22,dx=raiz32integral0^1(x-2x^2+x^3),dx =raiz32l(12-23+14r) =raiz32cdot112=raiz324

Resposta

raiz324

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