Calcule integral duplaS f d S, em que:
f(x, y, z)=x+y+z e S parametrizada por sigma(u, v)=(u, v, u+2 v), em que 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície parametricamente dada. Precisamos usar o conteúdo de integral de superfície de função escalar, cuja fórmula é
integral duplaS f,dS = integral duplaD fl(sigma(u,v)r) l|sigmau times sigmavr|,dA
onde sigma(u,v) é a parametrização da superfície e D é o domínio em (u,v).

Passo 2

Para encontrar o fator de área, calculamos as derivadas parciais de sigma(u,v)=(u,v,u+2v):
sigmau=(1,0,1),
sigmav=(0,1,2)
O vetor normal é dado por
sigmautimessigmav = (1,0,1)times(0,1,2) = (-1,-2,1)
e seu módulo é
l|sigmautimessigmavr| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz6

Passo 3

Substituímos a parametrização em f(x,y,z)=x+y+z. Temos
fl(sigma(u,v)r) = u + v + (u + 2v) = 2u + 3v

Passo 4

Agora montamos a integral dupla sobre D=[0,1]times[0,1]:
integral duplaS f,dS = integral0^1integral0^1 (2u + 3v),raiz6,du,dv
Fatorando raiz6 e calculando:
raiz6 integral0^1integral0^1 (2u+3v),du,dv = raiz6 integral0^1 l[ u^2 + 3v u r]u=0^1 dv = raiz6 integral0^1 (1 + 3v),dv = raiz6 l[ v + tfrac32v^2 r]0^1 = tfrac52 ,raiz6

Resposta

5raiz62

Exercícios relacionados