Use o teorema do divergente para calcular o fluxo de F através de S, em que:
F(x, y, z)=(x^3, y^3, z^2) ; S é a superfície da região W envolvida pelo cilindro x^2+y^2=9 e os planos z=0 e z=2.

Passo 1

Temos o campo vetorial vec F(x,y,z)=(x^3,y^3,z^2) e a superfície S que envolve a região W limitada pelo cilindro x^2+y^2=9 e pelos planos z=0 e z=2. O conteúdo usado é o Teorema do Divergente e precisaremos calcular o divergente de vec F e depois um integral triplo sobre W.

Passo 2

O Teorema do Divergente afirma que o fluxo de vec F através de S é igual ao integral triplo do divergente de vec F sobre W:
integral duplaSvec Fcdot dvec S = integral triplaW div,vec F,dV .

Passo 3

Calculamos o divergente:
div,vec F = partialpartial xx^3 + partialpartial yy^3 + partialpartial zz^2 = 3x^2 + 3y^2 + 2z

Passo 4

Usamos coordenadas cilíndricas para o integral triplo: x=rcostheta, y=rsintheta, z=z, com dV = r,dr,dtheta,dz. Os limites são:
0 <= r <= 3, 0 <= theta <= 2pi, 0 <= z <= 2

Passo 5

Substituindo o divergente e dV no integral, obtemos:
integral triplaW(3x^2+3y^2+2z),dV = integral0^2piintegral0^3integral0^2(3r^2+2z),r,dz,dr,dtheta

Passo 6

Integramos primeiro em z:
integral0^2(3r^2+2z),r,dz =3r^3cdot2 + 2rcdot2^22 =6r^3 + 4r
Assim o integral vira
integral0^2piintegral0^3(6r^3+4r),dr,dtheta

Passo 7

Calculamos as integrais em r e theta:
integral0^3(6r^3+4r),dr =6cdot3^44 + 4cdot3^22 =2432 + 18 =2792,
integral0^2pi2792,dtheta =2792cdot2pi =279pi

Resposta

279pi

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