Questão 2.
d) Geometricamente, qual o significado da aproximação utilizada no método de Euler?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre o significado geométrico da aproximação que o método de Euler faz na solução de uma EDO. O conteúdo é o método de Euler para resolver numericamente um problema de valor inicial do tipo y'=f(x,y), ;y(x0)=y0. Vamos precisar entender como o método constrói a aproximação passo a passo usando conceitos de retas tangentes.

Passo 2

Começamos lembrando o procedimento do método de Euler: a partir do ponto (xi,yi) calcula-se a inclinação f(xi,yi) e em seguida avança-se no eixo x de tamanho h estabelecido (passo) para obter o próximo ponto aproximado

Passo 3

Geometricamente, no ponto (xi,yi) a solução exata da EDO tem uma curva suave. O método de Euler usa a reta tangente a essa curva em (xi,yi), cuja inclinação é f(xi,yi), para aproximar o segmento de curva entre xi e xi+1=xi+h

Passo 4

Ou seja, em cada passo nós substituímos o trecho da curva que une (xi,yi) a (xi+1,y(xi+1)) por um segmento de reta que parte de (xi,yi) e segue com inclinação f(xi,yi) até xi+1. Dessa forma obtemos um polígono que aproxima a solução da EDO ao longo do intervalo de integração

Resposta

Aproxima-se localmente a curva solução por um segmento de reta tangente em cada ponto, isto é, em cada passo usamos a reta com inclinação f(xi,yi) em (xi,yi) para avançar até xi+1=xi+h.

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