Calcule
onde
e
é a parte do parabolóide
acima do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial é
e
é a parte do parabolóide
que fica acima do plano
. A gente vai precisar usar o conceito de integral de superfície para campos vetoriais, que envolve calcular o fluxo do campo através da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. Ela é parte do parabolóide
acima do plano
. Vamos achar a curva de interseção entre o parabolóide e o plano para definir os limites da nossa integral. Igualando as duas equações:
Então, a projeção da superfície
no plano
é um círculo de raio 2.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície
. Como a projeção é um círculo, é conveniente usar coordenadas polares. Então, definimos:
onde
varia de 0 a 2 e
varia de 0 a
.
Passo 4
Precisamos encontrar o vetor normal à superfície para calcular o produto escalar com o campo
. A parametrização da superfície nos dá o vetor posição:
Calculamos as derivadas parciais:
O vetor normal é o produto vetorial dessas derivadas:
Passo 5
O elemento de área vetorial é:
Agora, calculamos o produto escalar entre o campo
e
:
Substituindo
,
, e
:
Passo 6
Agora, integramos sobre
de 0 a 2 e sobre
de 0 a
:
Observamos que as integrais que contêm
e
se anulam ao integrar de 0 a
, restando apenas:
No entanto, também a integral com
se anula, então na verdade todas as partes se cancelam, resultando em 0.
Resposta
O valor da integral é
.