Calcule integral duplaS F d S onde F(x, y, z)=(-4 y, 2 z, 3 x) e S é a parte do parabolóide z=10-x^2-y^2 acima do plano z=6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS F , dS, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = (-4y, 2z, 3x) e S é a parte do parabolóide z = 10 - x^2 - y^2 que fica acima do plano z = 6. A gente vai precisar usar o conceito de integral de superfície para campos vetoriais, que envolve calcular o fluxo do campo através da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície S. Ela é parte do parabolóide z = 10 - x^2 - y^2 acima do plano z = 6. Vamos achar a curva de interseção entre o parabolóide e o plano para definir os limites da nossa integral. Igualando as duas equações:
10 - x^2 - y^2 = 6 Rightarrow x^2 + y^2 = 4
Então, a projeção da superfície S no plano xy é um círculo de raio 2.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície S. Como a projeção é um círculo, é conveniente usar coordenadas polares. Então, definimos:
x = r cos theta y = r sin theta z = 10 - r^2
onde r varia de 0 a 2 e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Precisamos encontrar o vetor normal à superfície para calcular o produto escalar com o campo F. A parametrização da superfície nos dá o vetor posição:
r(r, theta) = (r cos theta, r sin theta, 10 - r^2)
Calculamos as derivadas parciais:
rr = (cos theta, sin theta, -2r) rtheta = (-r sin theta, r cos theta, 0)
O vetor normal é o produto vetorial dessas derivadas:
n = rr times rtheta = (2r^2 cos theta, 2r^2 sin theta, r)

Passo 5

O elemento de área vetorial é:
dS = n , dr , dtheta = (2r^2 cos theta, 2r^2 sin theta, r) , dr , dtheta
Agora, calculamos o produto escalar entre o campo F e dS:
F cdot dS = (-4y)(2r^2 cos theta) + (2z)(2r^2 sin theta) + (3x)(r)
Substituindo x = r cos theta, y = r sin theta, e z = 10 - r^2:
= -4(r sin theta)(2r^2 cos theta) + 2(10 - r^2)(2r^2 sin theta) + 3(r cos theta)(r) = -8r^3 sin theta cos theta + 4(10 - r^2)r^2 sin theta + 3r^2 cos theta

Passo 6

Agora, integramos sobre r de 0 a 2 e sobre theta de 0 a 2pi:
integral duplaS F cdot dS = integral0^2pi integral0^2 [ -8r^3 sin theta cos theta + 4(10 - r^2)r^2 sin theta + 3r^2 cos theta ] dr , dtheta
Observamos que as integrais que contêm sin theta cos theta e cos theta se anulam ao integrar de 0 a 2pi, restando apenas:
integral0^2pi integral0^2 40 r^2 sin theta , dr , dtheta
No entanto, também a integral com sin theta se anula, então na verdade todas as partes se cancelam, resultando em 0.

Resposta

O valor da integral é 0.

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