b) Determine a solução do problema de valor inicial abaixo:
2 e^2 x cos (y)-e^2 x sen(y) d yd x=0, y(0)=pi

Passo 1

A gente tem a EDO
2e^2xcos(y) - e^2xsin(y)dydx = 0, com condição inicial y(0)=π. O conteúdo é EDO separável, e vamos usar as técnicas de dividir por e^{2x}, separar variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, dividimos tudo por e^{2x} (que nunca é zero) para simplificar a equação:
2cos(y) - sin(y)dydx = 0
Reorganizando, temos
sin(y)dydx = 2cos(y) Longrightarrow dydx = 2cot(y)

Passo 3

Agora separamos as variáveis y e x. Lembrando que cot(y)=cos(y)/sin(y), escrevemos:
dydx = 2cos(y)sin(y) Longrightarrow sin(y)cos(y),dy = 2,dx Longrightarrow tan(y),dy = 2,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados. A integral de tan(y) em y é -ln|cos(y)|, e a de 2 em x é 2x. Então:
integral tan(y),dy = integral 2,dx Longrightarrow -ln|cos(y)| = 2x + C

Passo 5

Agora exponenciamos para tirar o log. Escrevendo -ln|cos(y)|=2x+C) como ln|cos(y)| = -2x - C = -2x + C1, obtemos:
|cos(y)| = e^C1 e^-2x
Chamando A = ±e^C1, fica
cos(y) = A e^-2x

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=π. Como cos(π) = -1, temos
cos(y(0)) = A e^0 = A = -1
Logo
cos(y) = -e^-2x

Passo 7

Por fim, isolamos y de forma explícita usando a função arccos. Como queremos y(0)=π e arccos dá valores em [0,π], ficamos com
y(x) = arccosl(-e^-2xr)

Resposta

y(x)=\arccos\bigl(-e^{-2x}\bigr)

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