b) Determine a solução do problema de valor inicial abaixo:
Passo 1
A gente tem a EDO
Passo 2
Primeiro, dividimos tudo por e^{2x} (que nunca é zero) para simplificar a equação:
Reorganizando, temos
Passo 3
Agora separamos as variáveis y e x. Lembrando que
, escrevemos:
Passo 4
Integramos ambos os lados. A integral de
em y é
, e a de 2 em x é
. Então:
Passo 5
Agora exponenciamos para tirar o log. Escrevendo
como
, obtemos:
Chamando
Passo 6
Aplicamos a condição inicial y(0)=π. Como
, temos
Logo
Passo 7
Por fim, isolamos y de forma explícita usando a função arccos. Como queremos y(0)=π e arccos dá valores em [0,π], ficamos com
Resposta
y(x)=\arccos\bigl(-e^{-2x}\bigr)