(valor: 2,50 ) Faça o que se pede:
a) A EDO
sen(y) cos (y)+x cos ^2(y)+x y^prime=0
é exata?

Passo 1

A gente está numa questão de equações diferenciais exatas. O enunciado pergunta se a EDO
sin(y)cos(y) + xcos^2(y) + x y' = 0
é exata. Para isso, vamos precisar reescrever no formato M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 e usar o teste de exatidão ( partial M/partial y = partial N/partial x?).

Passo 2

Primeiro ajeitamos a equação na forma diferencial. Como y' = dy/dx, temos:
sin(y)cos(y) + xcos^2(y) + xdydx = 0
Multiplicando tudo por dx:
sin(y)cos(y),dx + xcos^2(y),dx + x,dy = 0

Passo 3

Agora identificamos as funções:
M(x,y) = sin(y)cos(y) + xcos^2(y),
N(x,y) = x

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = partialpartial y[sin(y)cos(y)] + partialpartial y[xcos^2(y)] = cos^2(y) - sin^2(y) - 2xsin(y)cos(y),
partial Npartial x = partialpartial x[x] = 1

Passo 5

Como
partial Mpartial y = cos^2(y)-sin^2(y)-2xsin(y)cos(y)neq 1 = partial Npartial x,
a EDO não satisfaz o teste de exatidão.

Passo 6

Portanto, a equação diferencial não é exata.

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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