Calcule
integral duplaS 4 z(8-x^2-y^2)^2 d S
onde S é a porção de esfera x^2+y^2+z^2=4 acima do plano z=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de superfície integral duplaS 4z(8 - x^2 - y^2)^2,dS, onde S é a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4 acima do plano z = 1. Vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar a esfera e transformar o integral.

Passo 2

Para parametrizar a esfera de raio 2, usamos as variáveis (phi,theta):
x = 2sinphicostheta, y = 2sinphisintheta, z = 2cosphi
Como queremos a parte acima de z = 1, temos 2cosphi = 1 em phi = pi/3. Logo phi varia de 0 a pi/3 e theta de 0 a 2pi.

Passo 3

Agora expressamos o integrando e o elemento de área em função de phi:
  • Temos x^2 + y^2 = 4sin^2phi, então
8 - x^2 - y^2 = 8 - 4sin^2phi = 4(2 - sin^2phi) = 4(1 + cos^2phi)
  • Logo
4z(8 - x^2 - y^2)^2 = 4(2cosphi)[4(1+cos^2phi)]^2 = cosphi2(1+cos^2phi)^2
  • O elemento de área na esfera é dS = r^2sinphi,dphi,dtheta = 4sinphi,dphi,dtheta

Passo 4

Então o integral vira
integral duplaS 4z(8 - x^2 - y^2)^2,dS = integral0^2pi!integral0^pi/3 cosphi2(1+cos^2phi)^2,4sinphi,dphi,dtheta = 2integral0^2pidthetaintegral0^pi/3 cosphisinphi(1+cos^2phi)^2 ,dphi
Integramos em theta para obter um fator 2pi, sobrando
4pi integral0^pi/3 cosphisinphi(1+cos^2phi)^2 ,dphi

Passo 5

Para calcular o integral em phi, fazemos a substituição u = 1 + cos^2phi, logo du = -2cosphisinphi,dphi. Isso dá:
I = integral0^pi/3 cosphisinphi(1+cos^2phi)^2 ,dphi = -tfrac12 integralu(0)=2^u(pi/3)=5/4 u^-2,du = tfrac12 l[u^-1r]2^5/4 = tfrac12l(tfrac45 - tfrac12r) = tfrac320
Multiplicando por 4pi ficamos com 4picdottfrac320 = tfrac3pi5
Portanto, o valor do integral de superfície é: 3pi5

Resposta

3pi5

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