Calcule
onde
é a porção de esfera
acima do plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral de superfície
, onde
é a parte da esfera
acima do plano
. Vamos usar coordenadas esféricas para parametrizar a esfera e transformar o integral.
Passo 2
Para parametrizar a esfera de raio 2, usamos as variáveis
:
Como queremos a parte acima de
, temos
em
. Logo
varia de
a
e
de
a
.
Passo 3
Agora expressamos o integrando e o elemento de área em função de
:
- Temos
, então
- Logo
- O elemento de área na esfera é
Passo 4
Então o integral vira
Integramos em
para obter um fator
, sobrando
Passo 5
Para calcular o integral em
, fazemos a substituição
, logo
. Isso dá:
Multiplicando por
ficamos com
Portanto, o valor do integral de superfície é:
Portanto, o valor do integral de superfície é: