O comprimento da curva
, é numericamente igual a
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d. 32
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d. 32
e.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento da curva $ y = \frac{2}{3} \sqrt{(x-1)^3} $ para $ 1 \leq x \leq 4 $. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de comprimentos de curvas, que envolve derivadas e integrais. Precisamos saber como calcular o comprimento de uma curva definida por uma função $ y = f(x) $ em um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ entre $ x = a $ e $ x = b $:
Ou seja, a gente precisa integrar de 1 a 4 a raiz quadrada de $ 1 $ mais o quadrado da derivada de $ y $ em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Dada a função:
Podemos reescrever isso como:
Agora, aplicando a regra do poder para derivar:
Passo 4
Agora que temos a derivada, vamos substituir na fórmula do comprimento:
Simplificando o dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de $ \sqrt{x} $:
Aplicando os limites de 1 a 4:
Passo 6
Vamos calcular $ 4^{\frac{3}{2}} $ e $ 1^{\frac{3}{2}} $:
Substituindo na expressão:
Resposta
A resposta correta é a opção a. $ \frac{14}{3} $.