O comprimento da curva y=23 raiz(x-1)^3, 1 <= x <= 4, é numericamente igual a
Escolha uma opção:
a. 14 / 3
b. raiz3
c. 2 ln 3
d. 32
e. 13 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento da curva $ y = \frac{2}{3} \sqrt{(x-1)^3} $ para $ 1 \leq x \leq 4 $. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de comprimentos de curvas, que envolve derivadas e integrais. Precisamos saber como calcular o comprimento de uma curva definida por uma função $ y = f(x) $ em um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ entre $ x = a $ e $ x = b $:
y = f(x)
Ou seja, a gente precisa integrar de 1 a 4 a raiz quadrada de $ 1 $ mais o quadrado da derivada de $ y $ em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de $ y $ em relação a $ x $. Dada a função:
y
Podemos reescrever isso como:
x
Agora, aplicando a regra do poder para derivar:
y = 23 raiz(x-1)^3

Passo 4

Agora que temos a derivada, vamos substituir na fórmula do comprimento:
L = integral1^4 raiz1 + ( (x-1)^12 )^2 , dx
Simplificando o dentro da raiz:
( (x-1)^12 )^2 = x - 1
Então, a integral fica:
L = integral1^4 raiz1 + (x - 1) , dx = integral1^4 raizx , dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de $ \sqrt{x} $:
raizx
Aplicando os limites de 1 a 4:
integral raizx , dx = integral x^12 , dx = 23 x^32 + C

Passo 6

Vamos calcular $ 4^{\frac{3}{2}} $ e $ 1^{\frac{3}{2}} $:
4^32
1^32
Substituindo na expressão:
4^32 = ( raiz4 )^3 = 2^3 = 8

Resposta

A resposta correta é a opção a. $ \frac{14}{3} $.

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