Calcule integral duplaS y^3 z^2 d S, S é a parte do cone z^2=x^2+y^2 que está entre os planos z=1
e z=3 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplaS y^3 z^2 dS, onde S é uma parte do cone definido por z^2 = x^2 + y^2, entre os planos z = 1 e z = 3, só no primeiro octante (ou seja, onde x, y e z são positivos). Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas e entender como parametrizar a superfície e calcular o elemento de área dS.

Passo 2

Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, que são super úteis para trabalhar com cones. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
No caso do nosso cone z^2 = x^2 + y^2, substituindo as coordenadas cilíndricas, fica:
z^2 = r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta implies z^2 = r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) implies z^2 = r^2
Então, sabemos que z = r, já que estamos no primeiro octante e z é positivo.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície S usando r e theta como parâmetros. Como z = r, podemos expressar a posição em coordenadas cilíndricas como:
r(r, theta) = (r cos theta, ; r sin theta, ; r)
Aqui, r varia de 1 a 3 (já que z vai de 1 a 3 e z = r), e theta varia de 0 a pi2 (porque estamos no primeiro octante).

Passo 4

Precisamos calcular o elemento de área dS para a integral. Em coordenadas parametrizadas, dS é dado pelo módulo do produto vetorial dos vetores derivadas parciais:
dS = | partial rpartial r times partial rpartial theta | dr dtheta
Calculando as derivadas:
partial rpartial r = (cos theta, ; sin theta, ; 1)
partial rpartial theta = (-r sin theta, ; r cos theta, ; 0)
Agora, o produto vetorial:
partial rpartial r times partial rpartial theta = i & j & k cos theta & sin theta & 1 - r sin theta & r cos theta & 0
Calculando o determinante:
= i ( sin theta cdot 0 - 1 cdot r cos theta ) - j ( cos theta cdot 0 - 1 cdot (-r sin theta) ) + k ( cos theta cdot r cos theta - sin theta cdot (-r sin theta) )
= - r cos theta , i - r sin theta , j + r (cos^2 theta + sin^2 theta) , k
= - r cos theta , i - r sin theta , j + r , k
Agora, o módulo desse vetor:
| partial rpartial r times partial rpartial theta | = raiz (-r cos theta)^2 + (-r sin theta)^2 + r^2 = raiz r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta + r^2 = raiz r^2 ( cos^2 theta + sin^2 theta ) + r^2 = raiz r^2 + r^2 = raiz2 r
Então, temos:
dS = raiz2 , r , dr , dtheta

Passo 5

Agora, vamos expressar a função que estamos integrando, y^3 z^2, em coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
y = r sin theta e z = r
Portanto:
y^3 z^2 = (r sin theta)^3 (r)^2 = r^3 sin^3 theta cdot r^2 = r^5 sin^3 theta

Passo 6

Vamos agora montar a integral dupla com os limites que definimos. Lembrando que r vai de 1 a 3 e theta vai de 0 a pi2. A integral fica:
integral duplaS y^3 z^2 dS = integral0^pi2 integral1^3 r^5 sin^3 theta cdot raiz2 , r , dr , dtheta = raiz2 integral0^pi2 sin^3 theta integral1^3 r^6 , dr , dtheta
Primeiro, vamos integrar em relação a r:
integral1^3 r^6 , dr = [ r^77 ]1^3 = 3^77 - 1^77 = 21877 - 17 = 21867
Agora, a integral fica:
raiz2 cdot 21867 integral0^pi2 sin^3 theta , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral de sin^3 theta:
integral sin^3 theta , dtheta = integral sin^2 theta cdot sin theta , dtheta = integral (1 - cos^2 theta) sin theta , dtheta
Fazendo a substituição u = cos theta, du = -sin theta , dtheta:
= - integral (1 - u^2) , du = - ( u - u^33 ) + C = -u + u^33 + C = -cos theta + cos^3 theta3 + C
Aplicando os limites de 0 a pi2:
[ -cos theta + cos^3 theta3 ]0^pi2 = ( -0 + 03 ) - ( -1 + 13 ) = 0 - ( -23 ) = 23
Agora, substituindo de volta na integral:
raiz2 cdot 21867 cdot 23 = raiz2 cdot 437221 = 4372 raiz221
Simplificando:
437221 = 208.666 approx 20823
Mas podemos deixar em termos fracionários:
4372 raiz221 = 437221 raiz2 = 208 421 raiz2

Resposta

A integral vale dfrac437221 raiz2.

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