Calcule é a parte do cone que está entre os planos
e no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde é uma parte do cone definido por , entre os planos e , só no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos). Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas e entender como parametrizar a superfície e calcular o elemento de área .
Passo 2
Primeiro, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, que são super úteis para trabalhar com cones. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
No caso do nosso cone , substituindo as coordenadas cilíndricas, fica:
Então, sabemos que , já que estamos no primeiro octante e é positivo.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície usando e como parâmetros. Como , podemos expressar a posição em coordenadas cilíndricas como:
Aqui, varia de a (já que vai de a e ), e varia de a (porque estamos no primeiro octante).
Passo 4
Precisamos calcular o elemento de área para a integral. Em coordenadas parametrizadas, é dado pelo módulo do produto vetorial dos vetores derivadas parciais:
Calculando as derivadas:
partial rpartial r = (cos theta, ; sin theta, ; 1)
partial rpartial theta = (-r sin theta, ; r cos theta, ; 0)
Agora, o produto vetorial:
partial rpartial r times partial rpartial theta = i & j & k cos theta & sin theta & 1 - r sin theta & r cos theta & 0
Calculando o determinante:
= i ( sin theta cdot 0 - 1 cdot r cos theta ) - j ( cos theta cdot 0 - 1 cdot (-r sin theta) ) + k ( cos theta cdot r cos theta - sin theta cdot (-r sin theta) )
= - r cos theta , i - r sin theta , j + r (cos^2 theta + sin^2 theta) , k