Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y, z) = e^x i + z^2 k para mover uma partícula sobre gamma que é a fronteira do plano x y com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1, no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo do trabalho realizado por um campo de força. O enunciado nos pede para calcular o trabalho feito pelo campo ao mover uma partícula ao longo da trajetória , que é a fronteira do plano no quadrado e , no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar usar o conceito de trabalho em campos de força, que é calculado através de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o trabalho realizado por um campo de força ao longo de uma curva é dado pela integral de linha:
Aqui, é o campo de força e é o vetor deslocamento ao longo da curva.

Passo 3

Vamos substituir o campo de força na integral:
Como a trajetória está no plano , o valor de é sempre 0. Portanto, , e o campo de força simplifica para:

Passo 4

Agora, a integral do trabalho fica:
Isso porque o componente em do campo de força é zero, então não há contribuição de .

Passo 5

Vamos parametrizar a curva que é o contorno do quadrado e no sentido anti-horário. A curva pode ser dividida em quatro segmentos:
  1. De a : , varia de 0 a 1.
  2. De a : , varia de 0 a 1.
  3. De a : , varia de 1 a 0.
  4. De a : , varia de 1 a 0.

Passo 6

Vamos calcular a integral em cada segmento:
  1. Segmento 1: , de 0 a 1.
  2. Segmento 2: , de 0 a 1.
    Aqui, como é constante, , então o trabalho é zero.
  3. Segmento 3: , de 1 a 0.
  4. Segmento 4: , de 1 a 0.
    Novamente, é constante, então , e o trabalho é zero.

Passo 7

Agora, somamos os trabalhos de todos os segmentos:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força ao mover a partícula ao longo da trajetória é igual a zero.

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