Calcule os limites abaixo: lim x 1(x^3-15 x-5)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que pede para calcular . A gente vai usar os conceitos de limites e álgebra para simplificar a expressão antes de calcular o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o que acontece quando substituímos 1^3-15(1)-5 = 00 diretamente na fração . Substituindo, temos:
Esse resultado é indeterminado, ou seja, não conseguimos encontrar o limite assim de boa. Então, precisamos simplificar a expressão para resolver isso.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração. O numerador x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
5x - 5 = 5(x - 1)
No denominador, temos , que pode ser fatorado assim:

Passo 4

Agora, substituímos essas fatorações na fração original:
x^3-15x-5 = (x - 1)(x^2 + x + 1)5(x - 1)
Perceba que o termo (x - 1)(x^2 + x + 1)5(x - 1) = x^2 + x + 15 aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar ele (desde que , o que é válido aqui porque estamos calculando o limite):

Passo 5

Agora que simplificamos a fração, nosso limite fica assim:
lim x 1 (x^2 + x + 15)^2
Como não temos mais a indeterminação, podemos substituir 1^2 + 1 + 15 = 35 diretamente na expressão:

Resposta

lim x 1(x^3-15 x-5)^2 = (35)^2 = 925

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