Calcule
, em que:
e
é a parte do cone
, em que
.
Passo 1
A gente quer calcular a integral de superfície ∬_S f dS onde f(x,y,z)=y²z² e S é a parte do cone z=√(x²+y²) com 1≤z≤2. O conteúdo é integral de superfície, e vamos precisar usar uma parametrização do cone em coordenadas cilíndricas e a fórmula do elemento de área dS via produto vetorial.
Passo 2
Para parametrizar o cone, use as variáveis u e v definindo
com 1≤u≤2 e 0≤v≤2π. Os vetores tangentes são
Passo 3
Agora calculamos o produto vetorial e seu módulo para obter dS. Temos
cujo módulo é
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Passo 4
Na parametrização, y=u sin v e z=u, então
Assim a integral fica
Passo 5
A integral é separável em u e v. Primeiro
(pois a média de sin² é 1/2). E
Passo 6
Juntando tudo: