Calcule integral duplaS f d S, em que:
f(x, y, z)=y^2 z^2 e S é a parte do cone z=raizx^2+y^2, em que 1 <= z <= 2.

Passo 1

A gente quer calcular a integral de superfície ∬_S f dS onde f(x,y,z)=y²z² e S é a parte do cone z=√(x²+y²) com 1≤z≤2. O conteúdo é integral de superfície, e vamos precisar usar uma parametrização do cone em coordenadas cilíndricas e a fórmula do elemento de área dS via produto vetorial.

Passo 2

Para parametrizar o cone, use as variáveis u e v definindo
r(u,v)=(x,y,z)=(ucos v,,usin v,,u),
com 1≤u≤2 e 0≤v≤2π. Os vetores tangentes são
ru=(cos v,,sin v,,1), rv=(-usin v,,ucos v,,0)

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial e seu módulo para obter dS. Temos
rutimes rv=(-ucos v,,-usin v,,u),
cujo módulo é
| rutimes rv|=raizu^2(cos^2v+sin^2v)+u^2=uraiz2
Logo
dS=| rutimes rv|,du,dv=uraiz2,du,dv

Passo 4

Na parametrização, y=u sin v e z=u, então
f( r(u,v))=(usin v)^2,u^2=u^4sin^2v
Assim a integral fica
integral duplaSf,dS=integralv=0^2piintegralu=1^2u^4sin^2v,(uraiz2),du,dv =integral0^2piintegral1^2raiz2,u^5sin^2v,du,dv

Passo 5

A integral é separável em u e v. Primeiro
integral0^2pisin^2v,dv=pi
(pois a média de sin² é 1/2). E
integral1^2u^5,du=gl[u^66gr]1^2=2^6-16=636=212

Passo 6

Juntando tudo:
integral duplaSf,dS=raiz2timespitimes212=21raiz2,pi2

Resposta

21raiz2,pi2

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