Dado a neq 0 num corpo F, põe-se, por definição a^0=1 e, se n in N, a^-n=1a^n ou seja, a^-n=(a^n)^-1. Prove:
I) a^m cdot a^n=a^m+n;
II) (a^m)^n=a^m n sejam quais forem m, n inteiros.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de álgebra onde precisamos provar duas propriedades das potências. O enunciado nos dá que, para qualquer número diferente de zero em um corpo , temos que e, para natural, ou seja, . Vamos usar essas definições para provar:
I) ;
II) ,
para quaisquer inteiros e .

Passo 2

Primeiro, vamos provar a primeira parte: .
Entendendo a Propriedade:
Essa propriedade fala que, quando multiplicamos duas potências com a mesma base, a gente soma os expoentes. É uma das propriedades básicas dos expoentes.

Passo 3

Vamos considerar diferentes casos para os expoentes a^m cdot a^n = a^m+n e a^m cdot a^n = a^m cdot 1a^|n| = a^ma^|n| = a^m - |n| = a^m + n :
  1. Ambos positivos:
    Se a^m cdot a^n = 1a^|m| cdot 1a^|n| = 1a^|m| + |n| = a^-(|m| + |n|) = a^m + n e são positivos, então:
    Isso vem diretamente da definição de potência.
  2. Um positivo e outro negativo:
    Suponha que é positivo e é negativo. Então:
    Aqui, usamos .
  3. Ambos negativos:
    Se e são negativos:
    Novamente, aplicamos a definição de potências negativas.

Passo 4

Agora, vamos provar a segunda parte: .
Entendendo a Propriedade:
Essa propriedade diz que, quando elevamos uma potência a outro expoente, multiplicamos os expoentes. É como repetir a multiplicação várias vezes.

Passo 5

Vamos considerar os casos para os expoentes (a^m)^n = a^m cdot n e (a^m)^n = (a^m)^-k = 1(a^m)^k = 1a^m cdot k = a^-m k = a^m cdot n :
  1. Ambos positivos:
    (a^m)^n = (a^-p)^-q = (1a^p)^-q = a^p cdot q = a^m cdot n
    Simplesmente multiplicamos os expoentes.
  2. Um positivo e outro negativo:
    Se é positivo e é negativo:
    Onde .
  3. Ambos negativos:
    Se e são negativos:
    Onde e .

Resposta

Portanto, provamos que:
I) ;
II) ,
para quaisquer inteiros e .

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