Dado
num corpo
, põe-se, por definição
e, se
ou seja,
. Prove:
I)
;
II)
sejam quais forem
inteiros.
I)
II)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de álgebra onde precisamos provar duas propriedades das potências. O enunciado nos dá que, para qualquer número
diferente de zero em um corpo
, temos que
e, para
natural,
ou seja,
. Vamos usar essas definições para provar:
I)
;
II)
,
para quaisquer inteiros
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos provar a primeira parte:
.
Entendendo a Propriedade:
Essa propriedade fala que, quando multiplicamos duas potências com a mesma base, a gente soma os expoentes. É uma das propriedades básicas dos expoentes.
Passo 3
Vamos considerar diferentes casos para os expoentes
e
:
-
Ambos positivos:
See são positivos, então: Isso vem diretamente da definição de potência. -
Um positivo e outro negativo:
Suponha queé positivo e é negativo. Então: Aqui, usamos. -
Ambos negativos:
See são negativos: Novamente, aplicamos a definição de potências negativas.
Passo 4
Agora, vamos provar a segunda parte:
.
Entendendo a Propriedade:
Essa propriedade diz que, quando elevamos uma potência a outro expoente, multiplicamos os expoentes. É como repetir a multiplicação várias vezes.
Passo 5
Vamos considerar os casos para os expoentes
e
:
-
Ambos positivos:Simplesmente multiplicamos os expoentes.
-
Um positivo e outro negativo:
Seé positivo e é negativo: Onde. -
Ambos negativos:
See são negativos: Ondee .
Resposta
Portanto, provamos que:
I)
;
II)
,
para quaisquer inteiros
e
.