Calcule a área das seguintes superfícies:
S é a parte do paraboloide hiperbólico z=y^2-x^2 que se está entre os cilindros x^2+y^2=1 e x^2+y^2=2.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da superfície dada por z = y² – x² entre os cilindros x² + y² = 1 e x² + y² = 2. O conteúdo é área de superfície de uma função z = f(x,y) e vamos usar a fórmula A = integral duplaD raiz1 + fx^2 + fy^2,dA. A projeção D no plano xy é o anel 1 <= x^2+y^2 <= 2.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=y^2 - x^2:
fx = -2x, fy = 2y
Então o fator de correção na área é
raiz1 + fx^2 + fy^2 = raiz1 + 4x^2 + 4y^2 = raiz1 + 4r^2,
pois em polares r^2 = x^2+y^2.

Passo 3

Em coordenadas polares substituímos x = rcostheta, y = rsintheta e a área elementar dA = r,dr,dtheta. Assim a área fica
A = integral0^2pi integralr=1^r=raiz2 raiz1 + 4r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Agora calculamos a integral em r usando a substituição u = 1 + 4r^2, de modo que du = 8r,dr e r,dr = du/8. Então
$$
\int_{1}^{\sqrt{2}} r\sqrt{1 + 4r^2},dr = \int_{u=1+4}^{1+8} \frac{\sqrt{u}}{8},du = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \bigl[u{3/2}\bigr]_{5}{9} = \frac{1}{12}\bigl(9^{3/2} - 5^{3/2}\bigr).$$

Passo 5

Finalmente multiplicamos por 2pi (vindo da integral em theta) e obtemos:
$$A = 2\pi \cdot \frac{1}{12}\bigl(9^{3/2} - 5^{3/2}\bigr) = \frac{\pi}{6}\bigl(27 - 5\sqrt{5}\bigr).
$$

Resposta

A = pi6,(27 - 5raiz5).

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