Calcule a área das seguintes superfícies:
é a parte do paraboloide hiperbólico
que se está entre os cilindros
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da parte da superfície dada por z = y² – x² entre os cilindros x² + y² = 1 e x² + y² = 2. O conteúdo é área de superfície de uma função z = f(x,y) e vamos usar a fórmula
. A projeção D no plano xy é o anel
.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de
:
Então o fator de correção na área é
pois em polares
.
Passo 3
Em coordenadas polares substituímos
,
e a área elementar
. Assim a área fica
Passo 4
Agora calculamos a integral em r usando a substituição
, de modo que
e
. Então
$$
\int_{1}^{\sqrt{2}} r\sqrt{1 + 4r^2},dr = \int_{u=1+4}^{1+8} \frac{\sqrt{u}}{8},du = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} \bigl[u{3/2}\bigr]_{5}{9} = \frac{1}{12}\bigl(9^{3/2} - 5^{3/2}\bigr).$$
Passo 5
Finalmente multiplicamos por
(vindo da integral em
) e obtemos:
$$A = 2\pi \cdot \frac{1}{12}\bigl(9^{3/2} - 5^{3/2}\bigr) = \frac{\pi}{6}\bigl(27 - 5\sqrt{5}\bigr).
$$