Sejam x e y elementos positivos de um corpo ordenado F. Prove que:
a) xy^-1;
b) x>0 Leftrightarrow x^-1>0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois números positivos, e , em um corpo ordenado . Precisamos provar duas afirmações:
a) se e somente se ;
b) se e somente se .
Para resolver isso, vamos utilizar propriedades de corpos ordenados, especialmente relacionadas a inversos e desigualdades.

Passo 2

Vamos começar pela parte a): provar que .
Sabemos que e são positivos, ou seja, e . Em corpos ordenados, se multiplicarmos ou dividirmos ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo, a direção da desigualdade se mantém.

Passo 3

Primeiro, assumimos que x cdot y < y cdot y e queremos mostrar que xy < y^2 .
Como xyxy < y^2xy e ambos são positivos, podemos multiplicar ambos os lados por 1 < yx (positivo) sem mudar a direção da desigualdade:
xy < 1
x^-1 > y^-1
Agora, dividimos ambos os lados por (positivo):
Isso implica que:
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos provar o sentido inverso: se 1x > 1y , então y > x .
Partimos de x < y . Como e , temos:
Multiplicando ambos os lados por (positivo):
Portanto, mostramos que se e somente se .

Passo 5

Agora, vamos para a parte b): provar que .
Sabemos que . Queremos mostrar que .

Passo 6

Como e estamos em um corpo ordenado, o inverso de um elemento positivo também é positivo. Ou seja, se , então .
O sentido inverso também é verdadeiro: se , então deve ser positivo, pois o inverso de um número negativo seria negativo, e o inverso de zero não existe no corpo.

Resposta

a) ;
b) .

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