Sejam
e
elementos positivos de um corpo ordenado
. Prove que:
a)
;
b)
.
a)
b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois números positivos,
e
, em um corpo ordenado
. Precisamos provar duas afirmações:
a) se e somente se
;
b) se e somente se
.
a)
b)
Para resolver isso, vamos utilizar propriedades de corpos ordenados, especialmente relacionadas a inversos e desigualdades.
Passo 2
Vamos começar pela parte a): provar que
.
Sabemos que
e
são positivos, ou seja,
e
. Em corpos ordenados, se multiplicarmos ou dividirmos ambos os lados de uma desigualdade por um número positivo, a direção da desigualdade se mantém.
Passo 3
Primeiro, assumimos que
e queremos mostrar que
.
Como
e ambos são positivos, podemos multiplicar ambos os lados por
(positivo) sem mudar a direção da desigualdade:
Agora, dividimos ambos os lados por
(positivo):
Isso implica que:
Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos provar o sentido inverso: se
, então
.
Partimos de
. Como
e
, temos:
Multiplicando ambos os lados por
(positivo):
Portanto, mostramos que
se e somente se
.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b): provar que
.
Sabemos que
. Queremos mostrar que
.
Passo 6
Como
e estamos em um corpo ordenado, o inverso de um elemento positivo também é positivo. Ou seja, se
, então
.
O sentido inverso também é verdadeiro: se
, então
deve ser positivo, pois o inverso de um número negativo seria negativo, e o inverso de zero não existe no corpo.
Resposta
a)
;
b)
.