Calcule integral duplaS rot F cdot d S, onde F(x, y, z)=(e^x y z sinh (x^3+y^2), y^2+x e^y z, z+e^(x+1)^2)), e superfície dada por x^2+y^2+z^2=1, x >= 0, orientada no sentido positivo do eixo x. Teorema de Stokes é obrigatório. (2,0 pt)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície de rot F sobre uma superfície S, onde F é um campo vetorial dado. O enunciado pede para usar o Teorema de Stokes, que é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial, como aplicar o Teorema de Stokes e identificar a curva que delimita a superfície S.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que diz o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial F com a integral de linha de F ao longo da borda dessa superfície. Em fórmula, fica assim:
integral duplaS rot F cdot d S = ointpartial S F cdot d r
Ou seja, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, que pode ser mais complicado, podemos calcular a integral de linha ao redor da borda de S.

Passo 3

Vamos identificar a borda da superfície S. A superfície é a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 onde x >= 0, ou seja, é a metade direita da esfera. A borda dessa superfície é o círculo onde x = 0 na esfera, que fica no plano y- z. Esse círculo tem raio 1 e está definido por x = 0, y^2 + z^2 = 1.

Passo 4

Agora, vamos parametrizar essa curva de borda. Como está no plano y- z, podemos usar coordenadas polares. Uma parametrização conveniente é:
r(t) = (0, cos t, sin t), t in [0, 2pi]
Isso percorre o círculo uma vez no sentido anti-horário quando visto de x positivo, que é a orientação correta para o Teorema de Stokes.

Passo 5

Vamos agora calcular F ao longo dessa curva parametrizada. Substituindo x = 0 na expressão de F:
F(0, y, z) = (e^0 cdot y cdot z sinh (0^3+y^2), y^2+0 cdot e^y z, z+e^(0+1)^2) = (sinh(y^2), y^2, z + e)

Passo 6

Agora, precisamos calcular F cdot dr. Primeiro, encontramos dr:
dr = drdt dt = (0, -sin t, cos t) dt
Então:
F cdot dr = sinh(cos^2 t) cdot 0 + y^2 cdot (-sin t) + (z + e) cdot cos t = -cos^2 t sin t + (sin t + e) cos t
Simplificando:
F cdot dr = -cos^2 t sin t + sin t cos t + e cos t = -cos^2 t sin t + sin t cos t + e cos t

Passo 7

Vamos integrar essa expressão de t = 0 a t = 2pi:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi ( -cos^2 t sin t + sin t cos t + e cos t ) dt
Vamos separar as integrais:
= -integral0^2pi cos^2 t sin t , dt + integral0^2pi sin t cos t , dt + e integral0^2pi cos t , dt

Passo 8

Calculando cada integral separadamente:
  1. -integral0^2pi cos^2 t sin t , dt
    Fazendo substituição u = cos t, du = -sin t , dt:
    = -( -integralu=1^u=1 u^2 du ) = 0
  2. integral0^2pi sin t cos t , dt
    Usando a identidade sin t cos t = 12 sin 2t:
    = 12 integral0^2pi sin 2t , dt = 0
  3. (e \int_{0}^{2\pi} \cos t , dt = e \left[ \sin t \right]_{0}^{2\pi} = e (0 - 0) = 0
    ]

Resposta

Somando todas as integrais, temos que integral duplaS rot F cdot d S = 0.
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