Calcule
, onde
, e superfície dada por
, orientada no sentido positivo do eixo
. Teorema de Stokes é obrigatório. (2,0 pt)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície de
sobre uma superfície
, onde
é um campo vetorial dado. O enunciado pede para usar o Teorema de Stokes, que é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial, como aplicar o Teorema de Stokes e identificar a curva que delimita a superfície
.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que diz o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial
com a integral de linha de
ao longo da borda dessa superfície. Em fórmula, fica assim:
Ou seja, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, que pode ser mais complicado, podemos calcular a integral de linha ao redor da borda de
.
Passo 3
Vamos identificar a borda da superfície
. A superfície é a parte da esfera
onde
, ou seja, é a metade direita da esfera. A borda dessa superfície é o círculo onde
na esfera, que fica no plano
-
. Esse círculo tem raio 1 e está definido por
,
.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar essa curva de borda. Como está no plano
-
, podemos usar coordenadas polares. Uma parametrização conveniente é:
Isso percorre o círculo uma vez no sentido anti-horário quando visto de
positivo, que é a orientação correta para o Teorema de Stokes.
Passo 5
Vamos agora calcular
ao longo dessa curva parametrizada. Substituindo
na expressão de
:
Passo 6
Agora, precisamos calcular
. Primeiro, encontramos
:
Então:
Simplificando:
Passo 7
Vamos integrar essa expressão de
a
:
Vamos separar as integrais:
Passo 8
Calculando cada integral separadamente:
-
Fazendo substituição
, : -
Usando a identidade
: -
(e \int_{0}^{2\pi} \cos t , dt = e \left[ \sin t \right]_{0}^{2\pi} = e (0 - 0) = 0
]
Resposta
Somando todas as integrais, temos que
.