Calcule a Transformada Inversa de Laplace:
L^-1s+1(s^2+4 s)(s+5)

Passo 1

O exercício pede a transformada inversa de Laplace de F(s)=dfracs+1(s^2+4s)(s+5), que é o mesmo que dfracs+1s(s+4)(s+5). O conteúdo principal é a Transformada de Laplace inversa e vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Para aplicar frações parciais, escrevemos
s+1s(s+4)(s+5)=As+Bs+4+Cs+5

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s(s+4)(s+5) e igualando coeficientes, obtemos
s+1=A(s+4)(s+5)+B,s(s+5)+C,s(s+4)

Passo 4

Expandindo e coletando termos de s^2, s e termo constante gera o sistema:
A+B+C=0,9A+5B+4C=1,20A=1

Passo 5

Da última equação vem A=1/20. Substituindo nas duas primeiras e resolvendo dá B=3/4 e C=-4/5. Logo a decomposição é
s+1s(s+4)(s+5)=1/20s+3/4s+4-4/5s+5

Passo 6

Agora usamos tabelas padrão de transformadas inversas: – L^-11/s=1, L^-11/(s+a)=e^-a t Assim cada termo vira:
L^-1l1/20sr=120, L^-1l3/4s+4r=34e^-4t, L^-1l-4/5s+5r=-45e^-5t

Passo 7

Somando tudo, obtemos a solução no domínio do tempo.

Resposta

f(t)=120+34e^-4t-45e^-5t, t>=0

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