Calcule a integral de linha
integralC(y^2 e^x+p1(x)) d x+(x e^y+p2(y)) d y
onde p1, p2 são funções polinomiais reais quaisquer, e C é a curva fechada, orientada. positivamente, formada pela uniāo do segmento de reta que une (0,0) e (1,0), do segrnento de que une (0,0) e (0,1) e do segmento de reta que une (1,0) a (0,1). ( 2,0 pt )

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral de linha fechada integralC P,dx + Q,dy, onde P(x,y)=y^2 e^x + p1(x) e Q(x,y)=x e^y + p2(y), sobre o triângulo C com vértices (0,0), (1,0) e (0,1), orientado positivamente. O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que transforma integral de linha fechada em integral dupla sobre a região interna.

Passo 2

Vamos usar o Teorema de Green, que diz que se P e Q têm derivadas parciais contínuas em uma região que contém D (o triângulo) e C=partial D, então
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr) ,dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais: como p1 depende só de x e p2 só de y, temos
partial Qpartial x = partialpartial x(x e^y + p2(y)) = e^y,
partial Ppartial y = partialpartial y(y^2 e^x + p1(x)) = 2y e^x

Passo 4

Logo a integral de linha vira
integral duplaD l(e^y - 2y e^xr) ,dA
Para descrever D: 0 <= x <= 1 e para cada x, 0 <= y <= 1 - x. Assim
integral duplaD e^y ,dA = integral0^1 integral0^1-x e^y ,dy,dx,
integral duplaD 2y e^x ,dA = 2integral0^1 integral0^1-x y e^x ,dy,dx

Passo 5

Calculamos separadamente:
  1. integral0^1 integral0^1-x e^y ,dy,dx = integral0^1 [e^y]0^1-x ,dx = integral0^1 (e^1-x-1) dx = (e-1)-1 = e-2
  2. integral0^1 integral0^1-x y e^x ,dy,dx = integral0^1 e^x (1-x)^22 dx Como a integral dupla vem com fator 2, isso vira
    x^k e^x Expandindo e usando integrais de integral0^1 e^x(1-x)^2 dx = 2e -5 , obtemos

Passo 6

Subtraindo as duas partes:
ointC P,dx + Q,dy = (e-2) - (2e-5) = 3 - e

Resposta

3 - e

Exercícios relacionados