Calcule a integral de linha
onde
são funções polinomiais reais quaisquer, e
é a curva fechada, orientada. positivamente, formada pela uniāo do segmento de reta que une
e
, do segrnento de que une
e
e do segmento de reta que une
a
. (
)
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos calcular a integral de linha fechada
, onde
e
, sobre o triângulo
com vértices
,
e
, orientado positivamente. O conteúdo aqui é o Teorema de Green, que transforma integral de linha fechada em integral dupla sobre a região interna.
Passo 2
Vamos usar o Teorema de Green, que diz que se
e
têm derivadas parciais contínuas em uma região que contém
(o triângulo) e
, então
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais: como
depende só de
e
só de
, temos
Passo 4
Logo a integral de linha vira
Para descrever
:
e para cada
,
. Assim
Passo 5
Calculamos separadamente:
-
-
Como a integral dupla vem com fator 2, isso vira
Expandindo e usando integrais de , obtemos
Passo 6
Subtraindo as duas partes: