Calcule integral duplasigma f(x, y, z) dS
f(x, y, z)=yz, onde sigma é a parte do plano x+y+z=1 que está no primeiro octante;

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral de superfície da função f(x,y,z)=yz sobre a parte do plano x+y+z=1 que está no primeiro octante. O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar e vamos precisar parametrizear a superfície e usar dS=raiz1+fx^2+fy^2,dA.

Passo 2

Parametrizeamos a superfície por x e y. Como x+y+z=1, temos z=1-x-y. Então escolhemos
r(x,y)=(x,,y,,1-x-y),
o domínio D em xy-plano definido por x>=0,,y>=0,,x+y<=1.

Passo 3

Substituímos na função e calculamos o elemento de área:
f( r(x,y))=y(1-x-y),
Como rx=(1,0,-1) e ry=(0,1,-1),
| rxtimes ry|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3
Logo dS=raiz3,dx,dy.

Passo 4

A integral de superfície vira
integral duplasigma f,dS=integral duplaD y(1-x-y),raiz3,dx,dy =raiz3integralx=0^1integraly=0^1-xl(y-xy-y^2r),dy,dx
Fazendo a integral interna em y:
integral0^1-x(y-xy-y^2),dy =(1-x)^36

Passo 5

Agora integramos em x:
integral duplasigma f,dS =raiz3integral0^1(1-x)^36,dx =raiz36cdot14 =raiz324

Resposta

raiz324

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