Verifique se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty n cos n pi2^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^infty ncos(npi)2^n. O conteúdo é séries numéricas, e vamos usar uma propriedade trigonométrica e o teste da razão para mostrar convergência absoluta.

Passo 2

Observando que cos(npi)=(-1)^n, reescrevemos o termo geral como an=n,(-1)^n2^n Para testar convergência absoluta, considere |an|=n2^n

Passo 3

Aplicamos o teste da razão a |an|. Calculamos L=limntoinfty|an+1||an|=limntoinfty(n+1)/2^n+1n/2^n=limntoinftyn+1ncdot12=12<1

Passo 4

Como L<1, a série sum|an| converge. Logo a série original converge absolutamente e, consequentemente, converge.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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