Verifique se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n n^25^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^infty(-1)^nn^25^n é convergente ou divergente. O conteúdo aqui envolve séries alternadas e testes de convergência (Critério de Leibniz e Teste da Razão).

Passo 2

Primeiro, analisamos como série alternada usando o Critério de Leibniz. Definimos an=n^25^n. Para aplicar o critério, precisamos ver que: 1) an é positivo; 2) an é decrescente a partir de certo n; e 3) anto0 quando ntoinfty. Claramente an>0 e limntoinftyan=0 porque exponencial domina polinomial. Além disso, a partir de um n grande, a sequência n^2/5^n só decresce (pode-se comparar an+1/an=(n+1)^2/(5n^2)<1 para n suficientemente grande). Logo a série alternada converge por Leibniz.

Passo 3

Em seguida, testamos a convergência absoluta, ou seja, a série sumn=1^infty|(-1)^nn^25^n|=sumn=1^inftyn^25^n. Aplicamos o Teste da Razão:
L=limntoinftyan+1an=limntoinfty(n+1)^2/5^n+1n^2/5^n=limntoinfty(n+1)^25n^2=15<1

Passo 4

Como L<1, a série de termos positivos sum n^2/5^n converge. Isso implica que a série original converge absolutamente.

Passo 5

Logo, a série é convergente (na verdade, converge absolutamente).

Resposta

A série converge absolutamente, logo é convergente.

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