Calcule: integral duplaW x d x d y d z, onde W é o sólido limitado pelos planos x=0, y=0, z=2 e pelo parabolóide z=x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaW x,dx,dy,dz, onde W é o sólido limitado pelos planos x=0, y=0, z=2 e pelo paraboloide z=x^2+y^2. O conteúdo aqui é integração tripla e vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar a região e o cálculo.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos x=rcostheta, y=rsintheta e z=z. As condições x>=0 e y>=0 dão thetain[0,tfracpi2], o paraboloide z=r^2 e o plano superior z=2 fixam zin[r^2,2]. Além disso r^2<=2 implica rin[0,raiz2].

Passo 3

A integral em cilíndricas fica
integral triplaWx,dV=integraltheta=0^pi/2integralr=0^raiz2integralz=r^2^2(rcostheta)cdot r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integralz=r^2^2r^2costheta,dz=r^2costhetal(2-r^2r)

Passo 5

Agora integramos em r e depois em theta:
integral0^pi/2integral0^raiz2r^2(2-r^2)costheta,dr,dtheta=integral0^pi/2costheta,dthetaintegral0^raiz2(2r^2-r^4),dr

Passo 6

Calculando a parte em r:
integral0^raiz2(2r^2-r^4),dr=l[tfrac2r^33-tfracr^55r]0^raiz2=8raiz215

Passo 7

Por fim a parte angular é
integral0^pi/2costheta,dtheta=1

Passo 8

Logo o valor da integral é
1cdot8raiz215=8raiz215

Resposta

8raiz215

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