Calcule:
, onde
é o sólido limitado pelos planos
,
e pelo parabolóide
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
, onde
é o sólido limitado pelos planos
,
,
e pelo paraboloide
. O conteúdo aqui é integração tripla e vamos usar coordenadas cilíndricas para simplificar a região e o cálculo.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas fazemos
,
e
. As condições
e
dão
, o paraboloide
e o plano superior
fixam
. Além disso
implica
.
Passo 3
A integral em cilíndricas fica
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Passo 5
Agora integramos em
e depois em
:
Passo 6
Calculando a parte em
:
Passo 7
Por fim a parte angular é
Passo 8
Logo o valor da integral é