Calcule:
integral dxx^3+x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dxx^3+x
O conteúdo principal aqui é a integração de função racional usando decomposição em frações parciais, já que o denominador fatora em x(x^2+1).

Passo 2

Começamos escrevendo
1x(x^2+1) = Ax + Bx + Cx^2+1
Multiplicando ambos os lados por x(x^2+1), obtemos
1 = A(x^2+1) + (Bx + C),x = (A + B),x^2 + C,x + A
Igualando coeficientes de potências de x:
- Coeficiente de x^2: A + B = 0
- Coeficiente de x: C = 0
- Termo constante: A = 1
Assim,
A = 1, B = -1, C = 0

Passo 3

Substituindo de volta, fica
1x(x^2+1) = 1x - xx^2+1
Logo a integral se separa em
integral dxx ;-;integral xx^2+1,dx
Sabemos que
integral dxx = lnl|xr| e integral xx^2+1,dx = 12,lnl(x^2+1r)

Passo 4

Somando os resultados com a constante C, obtemos
integral dxx^3+x = lnl|xr| ;-; 12,lnl(x^2+1r) + C

Resposta

lnl|xr| ;-; tfrac12,lnl(x^2+1r) + C

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