Uma esfera aumenta de modo que seu raio cresce à razão de 2,5 cm / s. Quão rapidamente varia seu volume no instante em que o raio mede 7,5 cm ?
(Obs.: O volume de uma esfera de raio r é dado por 43 pi r^3 )

Passo 1

Temos uma esfera cujo raio r varia no tempo. O enunciado diz que
drdt=2,5:cm/s
e pede a rapidez de variação do volume V quando r=7,5:cm. O conteúdo aqui é de taxas relacionadas (derivadas em função do tempo).

Passo 2

Escrevemos a fórmula do volume de uma esfera em função do raio:
V = 43pi r^3

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a t (usando derivação implícita e regra da cadeia), obtemos:
dVdt = ddt!l(tfrac43pi r^3r) = 43pi cdot 3r^2cdotdrdt = 4pi r^2drdt

Passo 4

Substituímos r=7,5:cm e drdt=2,5:cm/s:
dVdt = 4pi ,(7,5)^2 ,(2,5) = 4pi times 56,25 times 2,5 = 562,5,pi;cm^3/s

Resposta

dVdt = 562,5,pi;cm^3/s

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